Номер 350, страница 80, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

2. Противоположные числа и модуль. Параграф 1. Понятие рационального числа. Глава 3. Рациональные числа. Часть 2 - номер 350, страница 80.

Условие 2023.

350 Прочитай высказывания и определи их истинность. Построй отрицания ложных высказываний:

1) $\forall a \in Q: a = -a;$

2) $\exists a \in Q: a = -a;$

3) $\forall a \in Q: a \neq -a;$

4) $\forall a \in Q: -(-a) = a.$

Решение 2 (2023).

1) Высказывание $ \forall a \in Q: a = -a $.

Это высказывание читается как: "Для любого рационального числа $a$ верно равенство $a = -a$". Чтобы определить его истинность, достаточно найти один контрпример, то есть одно рациональное число, для которого это равенство не выполняется. Возьмем, например, рациональное число $a = 1$. Проверим равенство: $1 = -1$. Это неверно. Поскольку мы нашли число, для которого утверждение не выполняется, исходное высказывание является ложным.

Построим отрицание для ложного высказывания. Отрицанием высказывания с квантором всеобщности ($\forall$, "для любого") является высказывание с квантором существования ($\exists$, "существует"), в котором само утверждение заменяется на противоположное. Отрицание к $a = -a$ есть $a \neq -a$. Таким образом, отрицание исходного высказывания: $ \exists a \in Q: a \neq -a $ ("Существует такое рациональное число $a$, что $a \neq -a$").

Ответ: Высказывание ложное. Отрицание: $ \exists a \in Q: a \neq -a $.

2) Высказывание $ \exists a \in Q: a = -a $.

Это высказывание читается как: "Существует такое рациональное число $a$, для которого верно равенство $a = -a$". Чтобы определить его истинность, достаточно найти хотя бы одно такое рациональное число. Решим уравнение $a = -a$: $a + a = 0$ $2a = 0$ $a = 0$ Число $0$ является рациональным ($0 \in Q$) и удовлетворяет условию $0 = -0$. Поскольку мы нашли такое число, исходное высказывание является истинным.

Ответ: Высказывание истинное.

3) Высказывание $ \forall a \in Q: a \neq -a $.

Это высказывание читается как: "Для любого рационального числа $a$ верно, что $a$ не равно $-a$". Чтобы определить его истинность, попробуем найти контрпример. Возьмем рациональное число $a = 0$. Проверим неравенство: $0 \neq -0$. Это неверно, так как $0 = -0$. Поскольку мы нашли число, для которого утверждение не выполняется, исходное высказывание является ложным.

Построим отрицание для ложного высказывания. Отрицанием высказывания с квантором всеобщности ($\forall$) является высказывание с квантором существования ($\exists$), а утверждение $a \neq -a$ заменяется на противоположное $a = -a$. Таким образом, отрицание исходного высказывания: $ \exists a \in Q: a = -a $ ("Существует такое рациональное число $a$, что $a = -a$").

Ответ: Высказывание ложное. Отрицание: $ \exists a \in Q: a = -a $.

4) Высказывание $ \forall a \in Q: -(-a) = a $.

Это высказывание читается как: "Для любого рационального числа $a$ верно равенство $-(-a) = a$". Это является одним из основных свойств противоположных чисел. Число, противоположное к $-a$, есть $a$. Это свойство выполняется для всех действительных чисел, а значит и для всех рациональных чисел, так как множество рациональных чисел является подмножеством множества действительных чисел. Следовательно, высказывание истинно.

Ответ: Высказывание истинное.

Условие 2010-2022.

350 Прочитай высказывания и определи их истинность. Построй отрицания ложных высказываний:

1) $\forall a \in Q: a = -a;$

2) $\exists a \in Q: a = -a;$

3) $\forall a \in Q: a \neq -a;$

4) $\forall a \in Q: -(-a) = a.$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).