Номер 435, страница 98, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 2. Глава 3. Рациональные числа. Параграф 2. Арифметика рациональных чисел. 1. Сложение рациональных чисел. Алгебраическая сумма - номер 435, страница 98.

Условие 2023.

435 Прочитай высказывание и определи, истинно оно или ложно. Построй отрицания ложных высказываний:

1) $\forall a \in Q: a + 0 = 0 + a = a$;

2) $\exists a \in Q: a + (-a) \ne 0$;

3) $\forall a \in Q: a + |a| = 0$;

4) $\exists a, b \in Q: |a + b| > |a| + |b|.$

Решение 2 (2023).

1) $\forall a \in Q: a + 0 = 0 + a = a$;

Данное высказывание утверждает, что для любого рационального числа $a$ его сумма с нулем равна самому числу $a$. Это является определением нейтрального элемента (нуля) по сложению в множестве рациональных чисел $Q$. Это свойство выполняется для всех рациональных чисел.

Следовательно, высказывание истинно.

Ответ: Истинно.

2) $\exists a \in Q: a + (-a) \neq 0$;

Данное высказывание утверждает, что существует хотя бы одно рациональное число $a$, для которого сумма с противоположным ему числом $(-a)$ не равна нулю. Однако, по определению противоположного числа (обратного элемента по сложению), для любого рационального числа $a$ выполняется равенство $a + (-a) = 0$. Таким образом, не существует такого рационального числа, для которого это утверждение было бы верным.

Следовательно, высказывание ложно.

Отрицание ложного высказывания строится путем замены квантора существования ($\exists$) на квантор всеобщности ($\forall$) и отрицания самого утверждения. Отрицанием для $a + (-a) \neq 0$ является $a + (-a) = 0$.

Отрицание: $\forall a \in Q: a + (-a) = 0$.

Ответ: Ложно. Отрицание: $\forall a \in Q: a + (-a) = 0$.

3) $\forall a \in Q: a + |a| = 0$;

Данное высказывание утверждает, что для любого рационального числа $a$ сумма этого числа с его модулем равна нулю. Проверим это утверждение на примерах:

• Если $a$ — отрицательное число, например $a = -5$, то $a + |a| = -5 + |-5| = -5 + 5 = 0$. В этом случае утверждение верно.
• Если $a = 0$, то $a + |a| = 0 + |0| = 0$. Утверждение верно.
• Если $a$ — положительное число, например $a = 5$, то $a + |a| = 5 + |5| = 5 + 5 = 10 \neq 0$. В этом случае утверждение неверно.

Поскольку утверждение должно выполняться для *всех* рациональных чисел (из-за квантора $\forall$), а мы нашли контрпример (любое положительное число), то исходное высказывание ложно.

Отрицание ложного высказывания строится путем замены квантора всеобщности ($\forall$) на квантор существования ($\exists$) и отрицания самого утверждения. Отрицанием для $a + |a| = 0$ является $a + |a| \neq 0$.

Отрицание: $\exists a \in Q: a + |a| \neq 0$.

Ответ: Ложно. Отрицание: $\exists a \in Q: a + |a| \neq 0$.

4) $\exists a, b \in Q: |a + b| > |a| + |b|$;

Данное высказывание утверждает, что существуют два рациональных числа $a$ и $b$, для которых модуль их суммы строго больше, чем сумма их модулей. Это утверждение противоречит известному свойству модуля, называемому неравенством треугольника, которое гласит, что для любых чисел $a$ и $b$ (в том числе и рациональных) всегда выполняется неравенство $|a + b| \le |a| + |b|$.

Поскольку $|a + b|$ никогда не может быть больше, чем $|a| + |b|$, не существует таких чисел $a$ и $b$, для которых бы выполнялось данное неравенство.

Следовательно, высказывание ложно.

Отрицание ложного высказывания строится путем замены квантора существования ($\exists$) на квантор всеобщности ($\forall$) и отрицания самого утверждения. Отрицанием для $|a + b| > |a| + |b|$ является $|a + b| \le |a| + |b|$.

Отрицание: $\forall a, b \in Q: |a + b| \le |a| + |b|$.

Ответ: Ложно. Отрицание: $\forall a, b \in Q: |a + b| \le |a| + |b|$.

Условие 2010-2022.

435 Прочитай высказывание и определи, истинно оно или ложно. Построй отрицания ложных высказываний:

1) $\forall a \in Q: a + 0 = 0 + a = a;$

2) $\exists a \in Q: a + (-a) \neq 0;$

3) $\forall a \in Q: a + |a| = 0;$

4) $\exists a, b \in Q: |a + b| > |a| + |b|.$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).