Номер 1, страница 58 - гдз по математике 6 класс контрольные работы Крайнева

1. Найдите значение выражения:

а) $4\frac{1}{6}:2\frac{2}{9};$

б) $\frac{3\frac{8}{9}}{3\frac{4}{15}};$

в) $\frac{2,6}{15,6};$

г) $\frac{1,69}{2\frac{3}{5}}.$

а) $4\frac{1}{6}:2\frac{2}{9}$

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби. Для этого целую часть умножаем на знаменатель и прибавляем числитель, а знаменатель оставляем прежним.

$4\frac{1}{6} = \frac{4 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{24 + 1}{6} = \frac{25}{6}$

$2\frac{2}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 2}{9} = \frac{18 + 2}{9} = \frac{20}{9}$

Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) ей дробь:

$\frac{25}{6} : \frac{20}{9} = \frac{25}{6} \cdot \frac{9}{20}$

Сократим дроби перед умножением для упрощения расчетов. Числитель 25 и знаменатель 20 делятся на 5. Числитель 9 и знаменатель 6 делятся на 3.

$\frac{25 \cdot 9}{6 \cdot 20} = \frac{(5 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 3)}{(2 \cdot 3) \cdot (4 \cdot 5)} = \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 4} = \frac{15}{8}$

Преобразуем полученную неправильную дробь в смешанное число, разделив числитель на знаменатель с остатком:

$\frac{15}{8} = 1\frac{7}{8}$

Ответ: $1\frac{7}{8}$

б) $\frac{3\frac{8}{9}}{3\frac{4}{15}}$

Данное выражение представляет собой деление двух смешанных чисел. Запишем его в виде $3\frac{8}{9} : 3\frac{4}{15}$.

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$3\frac{8}{9} = \frac{3 \cdot 9 + 8}{9} = \frac{27 + 8}{9} = \frac{35}{9}$

$3\frac{4}{15} = \frac{3 \cdot 15 + 4}{15} = \frac{45 + 4}{15} = \frac{49}{15}$

Теперь выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:

$\frac{35}{9} : \frac{49}{15} = \frac{35}{9} \cdot \frac{15}{49}$

Сократим дроби. Числитель 35 и знаменатель 49 делятся на 7. Числитель 15 и знаменатель 9 делятся на 3.

$\frac{35 \cdot 15}{9 \cdot 49} = \frac{(5 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 5)}{(3 \cdot 3) \cdot (7 \cdot 7)} = \frac{5 \cdot 5}{3 \cdot 7} = \frac{25}{21}$

Выделим целую часть, разделив 25 на 21:

$\frac{25}{21} = 1\frac{4}{21}$

Ответ: $1\frac{4}{21}$

в) $\frac{2,6}{15,6}$

Дробная черта означает деление. Чтобы избавиться от десятичных дробей в числителе и знаменателе, воспользуемся основным свойством дроби: умножим и числитель, и знаменатель на одно и то же число. В данном случае умножим на 10.

$\frac{2,6 \cdot 10}{15,6 \cdot 10} = \frac{26}{156}$

Теперь сократим полученную дробь. Заметим, что и числитель, и знаменатель - четные числа, значит, их можно разделить на 2:

$\frac{26 : 2}{156 : 2} = \frac{13}{78}$

Проверим, делится ли знаменатель 78 на числитель 13. $13 \cdot 6 = (10+3)\cdot 6 = 60+18 = 78$. Да, делится.

Сократим дробь на 13:

$\frac{13 : 13}{78 : 13} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$

г) $\frac{1,69}{2\frac{3}{5}}$

В этом выражении присутствуют и десятичная дробь, и смешанное число. Для удобства вычислений приведем их к одному виду - к обыкновенным дробям.

Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную:

$1,69 = \frac{169}{100}$

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$2\frac{3}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{10+3}{5} = \frac{13}{5}$

Теперь исходное выражение можно записать как деление двух дробей:

$\frac{169}{100} : \frac{13}{5}$

Заменим деление умножением на обратную дробь:

$\frac{169}{100} \cdot \frac{5}{13}$

Сократим дроби. Учтем, что $169 = 13 \cdot 13$ и $100 = 20 \cdot 5$:

$\frac{169 \cdot 5}{100 \cdot 13} = \frac{(13 \cdot 13) \cdot 5}{(20 \cdot 5) \cdot 13}$

После сокращения одинаковых множителей в числителе и знаменателе (13 и 5) получим:

$\frac{13}{20}$

Этот результат можно также записать в виде десятичной дроби, умножив числитель и знаменатель на 5: $\frac{13 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{65}{100} = 0,65$.

Ответ: $\frac{13}{20}$