Номер 2.120, страница 58, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

8. Наименьшее общее кратное натуральных чисел. § 2. Действия со смешенными числами. ч. 1 - номер 2.120, страница 58.

2.120. Найдите НОД (n, d), если:

а) n = 3 · 5 · 7 · 7 · 11, d = 5 · 5 · 7 · 11;

б) n = 756, d = 720.

2.120

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} \mathrm{n} = 3 · 5 · 7· 7 · 11 \\ \mathrm{d} = 5 · 5 · 7 · 11 \\ \mathrm{НОД} (\mathrm{n}; \mathrm{d}) = 5 · 7 · 11 = 385 \end{gathered}$$

$\mathbf{б}\mathbf{)} \mathrm{n} = 756, \mathrm{d} = 720$

$$\begin{gathered} 756 = 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7 \\ 720 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 \\ \mathrm{НОД} (756; 720) = 2 · 2 · 3 · 3 = 36 \end{gathered}$$

а) Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) двух чисел, которые уже разложены на простые множители, нужно взять произведение их общих простых множителей. При этом каждый общий множитель берется с наименьшим показателем степени, с которым он входит в оба разложения.

Представим данные числа в виде произведения степеней простых множителей:

$n = 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 11 = 3^1 \cdot 5^1 \cdot 7^2 \cdot 11^1$

$d = 5 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 = 5^2 \cdot 7^1 \cdot 11^1$

Общими простыми множителями для чисел $n$ и $d$ являются 5, 7 и 11. Множитель 3 не является общим, так как он есть только в разложении числа $n$.

Выберем для каждого общего множителя наименьшую степень, в которой он встречается в разложениях: для множителя 5 наименьшая степень - $1$ (в числе $n$), для множителя 7 наименьшая степень - $1$ (в числе $d$), для множителя 11 наименьшая степень - $1$ (в обоих числах).

Теперь вычислим НОД, перемножив эти множители в выбранных степенях:

$НОД(n, d) = 5^1 \cdot 7^1 \cdot 11^1 = 5 \cdot 7 \cdot 11 = 35 \cdot 11 = 385$

Ответ: 385

б) Для нахождения НОД чисел $n = 756$ и $d = 720$ сначала разложим их на простые множители.

Разложение числа 756:
$756 | 2$
$378 | 2$
$189 | 3$
$63 | 3$
$21 | 3$
$7 | 7$
$1 | $
Таким образом, $n = 756 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 7^1$.

Разложение числа 720:
$720 | 2$
$360 | 2$
$180 | 2$
$90 | 2$
$45 | 3$
$15 | 3$
$5 | 5$
$1 | $
Таким образом, $d = 720 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^1$.

Теперь, используя разложения на простые множители, найдем НОД. Общими простыми множителями являются 2 и 3. Множители 7 и 5 не являются общими.

Выберем для каждого общего множителя наименьшую степень: для 2 это $2^2$ (из разложения 756), для 3 это $3^2$ (из разложения 720).

Перемножим эти множители, чтобы найти НОД:

$НОД(756, 720) = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$

Ответ: 36