Номер 2.216, страница 74, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

11. Действия сложения и вычитания смешанных чисел. § 2. Действия со смешенными числами. ч. 1 - номер 2.216, страница 74.

2.216. Котлован под фундамент нового здания первый экскаватор может выкопать за 8 дней, второй — за 12 дней, а третий — за 15 дней. Какую часть котлована останется выкопать после того, как первый экскаватор отработает 3 дня, второй — 5 дней, а третий — 2 дня?

2.216

	Может выкопать	Работал
1 экскаватор	За 8 дней	3 дня
2 экскаватор	За 12 дней	5 дней
3 экскаватор	За 15 дней	2 дня

Какая часть осталась - ?.

$\mathbf{1}\mathbf{)} 3 : 8 =\frac{3}{8}$(часть) – выкопает за 3 дня первый экскаватор;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 5 : 12 =\frac{5}{12}$(часть) – выкопает за 5 дней второй экскаватор;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 2 : 15 =\frac{2}{15}$(часть) – выкопает за 2 дня третий экскаватор;

$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{3}{8}}^{\overline{)·15}}+{\frac{5}{12}}^{\overline{)·10}}+{\frac{2}{15}}^{\overline{)·8}}=\frac{45}{120}+$

$+\frac{50}{120}+\frac{16}{120}=\frac{11}{120}$(часть) - выкопают они вместе;

$\mathbf{5}\mathbf{)}\mathbf{ }1 - \frac{111}{120}=\frac{120}{120}-\frac{111}{120}=\frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{9}}}}{{\displaystyle \underset{40}{\cancel{120}}}}=\frac{3}{40}$(часть) – останется выкопать.

Ответ: $\frac{3}{40}$котлована

Для решения этой задачи необходимо последовательно выполнить несколько шагов. Примем весь объем работы по выкапыванию котлована за 1 (единицу).

1. Определение производительности каждого экскаватора

Производительность — это часть работы, которую экскаватор выполняет за один день.

• Производительность первого экскаватора, который может выполнить всю работу за 8 дней, составляет $ \frac{1}{8} $ котлована в день.

• Производительность второго экскаватора, выполняющего работу за 12 дней, составляет $ \frac{1}{12} $ котлована в день.

• Производительность третьего экскаватора, выполняющего работу за 15 дней, составляет $ \frac{1}{15} $ котлована в день.

2. Расчет выполненной части работы

Теперь вычислим, какую часть котлована выкопал каждый экскаватор за отведенное ему время.

• Первый экскаватор работал 3 дня и выкопал: $ 3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8} $ часть котлована.

• Второй экскаватор работал 5 дней и выкопал: $ 5 \times \frac{1}{12} = \frac{5}{12} $ часть котлована.

• Третий экскаватор работал 2 дня и выкопал: $ 2 \times \frac{1}{15} = \frac{2}{15} $ часть котлована.

3. Нахождение общей выполненной части котлована

Чтобы найти общую часть выкопанного котлована, сложим части, выполненные каждым экскаватором. Для сложения дробей $ \frac{3}{8} $, $ \frac{5}{12} $ и $ \frac{2}{15} $ их нужно привести к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 8, 12 и 15 равно 120.

$ \frac{3}{8} + \frac{5}{12} + \frac{2}{15} = \frac{3 \cdot 15}{120} + \frac{5 \cdot 10}{120} + \frac{2 \cdot 8}{120} = \frac{45}{120} + \frac{50}{120} + \frac{16}{120} $

Сложим числители полученных дробей:

$ \frac{45 + 50 + 16}{120} = \frac{111}{120} $

Эту дробь можно сократить на 3:

$ \frac{111 \div 3}{120 \div 3} = \frac{37}{40} $

Таким образом, все три экскаватора вместе выкопали $ \frac{37}{40} $ часть котлована.

4. Определение оставшейся части работы

Чтобы найти, какую часть котлована осталось выкопать, нужно из всего объема работы (1) вычесть уже выполненную часть.

$ 1 - \frac{37}{40} = \frac{40}{40} - \frac{37}{40} = \frac{3}{40} $

Ответ: останется выкопать $ \frac{3}{40} $ часть котлована.