Номер 3, страница 154, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

3. На рисунке 3.56 изображена схема разметки хоккейной площадки.

а) Внутри центрального круга находится центральная (синяя) точка вбрасывания диаметром 30 см, а в нейтральной зоне находятся точки вбрасывания (красные), диаметр которых в 2 раза больше диаметра центральной точки. Во сколько раз площадь красной точки вбрасывания больше площади синей точки?

б) Центральный круг имеет диаметр 9 м, а радиус полукруга судейской зоны составляет – радиуса центрального круга. Найдите площадь полукруга судейской зоны. Какую часть площади центрального круга она занимает?

в) Является ли симметричным изображение хоккейной площадки?

3.

π ≈ 3,14

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }30 · 2 = 60$ (см) - d_{красного};

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }30 : 2 = 15$(см) – r синей точки;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 60 : 2 = 30$(см) – r красной точки;

$\mathbf{4}\mathbf{)} {\mathrm{S}}_{\mathrm{синего}} = \mathrm{\pi } · {15}^2 = 225\mathrm{\pi } ({\mathrm{см}}^2);$

$\mathbf{5}\mathbf{)} {\mathrm{S}}_{\mathrm{красного}} = \mathrm{\pi } · {30}^2 = 900\mathrm{\pi } ({\mathrm{см}}^2);$

$\mathbf{6}\mathbf{)}\mathbf{ }{\mathrm{S}}_2 : {\mathrm{S}}_1 = \frac{900 \mathrm{\pi }}{225 \mathrm{\pi }} = \frac{900}{225} = 4$ (раза) – больше площадь красной точки.

Ответ: в 4 раза.

б) d_синего = 9 м;

$\frac{1}{2}{\mathrm{r}}_{\mathrm{суд}} = \frac{2}{3} {\mathrm{r}}_{\mathrm{синего}}$

π ≈ 3,14.

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }9 : 2 = 4,5$(м) – r синей точки;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 4,5 · \frac{2}{3} = \frac{{\displaystyle \stackrel{15}{\cancel{45}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\bcancel{10}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{2}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} =\frac{15}{5} · \frac{1}{1} = \frac{15}{5} = 3$ (м)- r полукруга судейской зоны;

$\mathbf{3}\mathbf{)} \mathrm{S} = 3,14 · 3^2 = 3,14 · 9 = 28,26$(м²) – площадь судейской зоны;

$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ } 28,26 : 2 = 14,13$(м²) – площадь полукруга судейской зоны;

$\mathbf{5}\mathbf{)} \mathrm{S} = 3,14 · 4,5^2 = 3,14 · 20,25 = 63,585$– площадь синей точки;

$\mathbf{6}\mathbf{)} S_1 : S =\frac{14,13}{63,585}= \frac{14130}{63585} = \frac{2}{9}$– площади центрального круга занимает площадь полукруга судейской зоны.

Ответ: 14,13 м²; $\frac{2}{9}$.

Изображение хоккейной площадки является симметричным.

а)

Для решения этой задачи воспользуемся формулой площади круга: $S = \pi r^2$, где $r$ — радиус круга. Также можно выразить площадь через диаметр $d$: поскольку $r = d/2$, формула площади будет $S = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$.

Пусть $S_с$ и $d_с$ — площадь и диаметр синей (центральной) точки, а $S_к$ и $d_к$ — площадь и диаметр красной точки.
По условию, диаметр синей точки $d_с = 30$ см.
Диаметр красной точки в 2 раза больше: $d_к = 2 \cdot d_с$.

Найдем отношение площади красной точки к площади синей точки:
$\frac{S_к}{S_с} = \frac{\frac{\pi d_к^2}{4}}{\frac{\pi d_с^2}{4}}$

Сократив $\frac{\pi}{4}$, получим:
$\frac{S_к}{S_с} = \frac{d_к^2}{d_с^2} = (\frac{d_к}{d_с})^2$

Так как мы знаем, что $\frac{d_к}{d_с} = 2$, подставим это значение в формулу:
$\frac{S_к}{S_с} = (2)^2 = 4$

Таким образом, площадь красной точки вбрасывания в 4 раза больше площади синей точки.
Ответ: В 4 раза.

б)

Сначала найдем радиус центрального круга. Его диаметр $D_{цк} = 9$ м, значит, радиус:
$R_{цк} = \frac{D_{цк}}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$ м.

Теперь найдем радиус полукруга судейской зоны. По условию, он составляет $\frac{2}{3}$ радиуса центрального круга:
$r_{сз} = \frac{2}{3} \cdot R_{цк} = \frac{2}{3} \cdot 4.5 = \frac{2 \cdot 4.5}{3} = \frac{9}{3} = 3$ м.

Площадь полукруга вычисляется по формуле $S_{полукруга} = \frac{1}{2}\pi r^2$. Найдем площадь полукруга судейской зоны:
$S_{сз} = \frac{1}{2}\pi r_{сз}^2 = \frac{1}{2}\pi (3)^2 = \frac{9\pi}{2} = 4.5\pi$ м².

Далее найдем, какую часть площади центрального круга занимает площадь полукруга судейской зоны. Для этого сначала вычислим площадь центрального круга:
$S_{цк} = \pi R_{цк}^2 = \pi (4.5)^2 = 20.25\pi$ м².

Теперь найдем отношение площадей:
$\frac{S_{сз}}{S_{цк}} = \frac{4.5\pi}{20.25\pi} = \frac{4.5}{20.25} = \frac{450}{2025}$

Сократим полученную дробь. Можно заметить, что $2025 = 4.5 \cdot 450$. Или, разделив числитель и знаменатель на 450, получим:
$\frac{450 : 450}{2025 : 450} = \frac{1}{4.5} = \frac{1}{9/2} = \frac{2}{9}$

Ответ: Площадь полукруга судейской зоны равна $4.5\pi$ м², она занимает $\frac{2}{9}$ часть площади центрального круга.

в)

Да, изображение хоккейной площадки является симметричным. Оно имеет две оси симметрии:
1. Горизонтальная ось, которая совпадает с Центральной линией. Верхняя половина площадки является зеркальным отражением нижней.
2. Вертикальная ось, которая совпадает со Средней линией и проходит через центр площадки перпендикулярно Центральной линии. Левая половина площадки является зеркальным отражением правой.
Ответ: Да, является.