Номер 4, страница 155, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

4. Предположим, что каждый из учащихся вашего класса обошёл земной шар по экватору. Измерьте свой рост и рассчитайте, на сколько макушка «прошла» более длинный путь, чем пятка. Радиус Земли считать равным 6400 км, π = 3,14.

4.

R = 6400 км = 6400000 м; π ≈ 3,14

1,6 м – рост человека

r = R + 1,6 = 6400000 + 1,6 = 6400001,6 (м) – радиус движения макушки

C = 2π • 6400001,6 - 2π • 6400000 = 2π • 1,6 = 3,2π = 3,2 • 3,14 = 10,048 (м) – больше прошла макушка человека.

Ответ: на 10,048 м.

Для решения этой задачи нам нужно рассчитать длину двух окружностей: ту, по которой двигались пятки ученика, и ту, по которой двигалась его макушка. Затем мы найдем разницу между этими длинами.

Длина окружности вычисляется по формуле $L = 2\pi R$, где $R$ — это радиус окружности.

1. Расчет пути, который прошли пятки.

Пятки двигаются по поверхности Земли, то есть по экватору. Радиус этой окружности равен радиусу Земли.

Обозначим радиус Земли как $R_З$. По условию, $R_З = 6400 \text{ км}$.

Путь, пройденный пятками, равен длине экватора: $L_{\text{пяток}} = 2\pi R_З$.

2. Расчет пути, который прошла макушка.

Макушка движется по окружности, которая находится на высоте роста ученика над поверхностью Земли. Поэтому радиус этой окружности будет равен радиусу Земли плюс рост ученика.

Обозначим рост ученика как $h$. В задаче требуется измерить свой рост. В качестве примера возьмем средний рост школьника, например, $h = 1,70 \text{ м}$.

Радиус окружности для макушки будет: $R_{\text{макушки}} = R_З + h$.

Путь, пройденный макушкой: $L_{\text{макушки}} = 2\pi (R_З + h)$.

3. Нахождение разницы в путях.

Чтобы найти, на сколько длиннее путь макушки, нужно вычесть из длины ее пути длину пути пяток:

$\Delta L = L_{\text{макушки}} - L_{\text{пяток}}$

Подставим формулы:

$\Delta L = 2\pi (R_З + h) - 2\pi R_З$

Раскроем скобки:

$\Delta L = 2\pi R_З + 2\pi h - 2\pi R_З$

Как мы видим, члены $2\pi R_З$ и $-2\pi R_З$ взаимно уничтожаются. Остается простая формула:

$\Delta L = 2\pi h$

Это означает, что разница в пройденном пути зависит только от роста человека и не зависит от радиуса Земли. Радиус Земли в 6400 км был дан для понимания контекста, но для финального расчета он не нужен.

4. Вычисление.

Подставим значения в итоговую формулу. Рост $h = 1,70 \text{ м}$ и $\pi \approx 3,14$.

$\Delta L = 2 \cdot 3,14 \cdot 1,70 \text{ м}$

$\Delta L = 6,28 \cdot 1,70 \text{ м}$

$\Delta L = 10,676 \text{ м}$

Таким образом, макушка пройдет путь, который длиннее пути пяток почти на 11 метров, и этот результат будет одинаковым для любого ученика с таким ростом, независимо от того, идет он по Земле или по любому другому шару.

Ответ: При росте ученика 1,70 м его макушка прошла путь на 10,676 м длиннее, чем пятка.