Номер 7, страница 155, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

Применяем математику. § 3. Отношения и пропорции. ч. 1 - номер 7, страница 155.

7. При передаче (рис. 3.57) ведущий шкив диаметром 20 см сделал 40 оборотов. Сколько оборотов сделает ведомый шкив радиус которого равен: а) 2 см; б) 3 см? Найдите передаточное соотношение в каждом случае.

7.

а) r = 2 см;

R = 20 : 2 = 10 см – радиус ведущего шкива

$$\begin{gathered} 10 : 2 = х : 40; \\ 2х = 10 · 40; \\ 2х = 400; \\ х = 400 : 2; \end{gathered}$$

х = 200 (об) – сделает ведомый шкив.

40 : 200 = 1 : 5 – передаточное соотношение.

б) r = 3 см

R = 20 : 2 = 10 см – радиус ведущего шкива

$$\begin{gathered} 10 : 3 = х : 40; \\ 3х = 10 · 40; \\ 3х = 400; \\ х = 400 : 3; \end{gathered}$$

$х = 133\frac{1}{3} \approx 134$ (об)- сделает ведомый шкив

40 : 134 = 20 : 67 – передаточное соотношение.

Для решения задачи используется принцип равенства линейных скоростей на цепи, соединяющей шкивы. Это означает, что путь, который проходит цепь за определенное время, одинаков для обоих шкивов. Путь, проходимый точкой на окружности шкива, равен произведению числа его оборотов $n$ на длину окружности ($2 \pi r$). Отсюда следует соотношение:

$n_1 \cdot 2 \pi r_1 = n_2 \cdot 2 \pi r_2$

где $n_1, r_1$ — число оборотов и радиус ведущего шкива, а $n_2, r_2$ — те же параметры для ведомого шкива. Сократив $2 \pi$, получаем основное рабочее уравнение:

$n_1 r_1 = n_2 r_2$

Из этого уравнения можно найти число оборотов ведомого шкива:

$n_2 = n_1 \frac{r_1}{r_2}$

Передаточное соотношение $i$ — это отношение числа оборотов ведущего шкива к числу оборотов ведомого, которое также равно отношению радиусов ведомого шкива к ведущему:

$i = \frac{n_1}{n_2} = \frac{r_2}{r_1}$

По условию, диаметр ведущего шкива $d_1 = 20$ см, значит его радиус $r_1 = d_1/2 = 10$ см. Число оборотов ведущего шкива $n_1 = 40$.

а) Радиус ведомого шкива $r_{2a} = 2$ см.

Вычислим количество оборотов ведомого шкива:

$n_{2a} = n_1 \frac{r_1}{r_{2a}} = 40 \cdot \frac{10 \text{ см}}{2 \text{ см}} = 40 \cdot 5 = 200$ оборотов.

Теперь вычислим передаточное соотношение:

$i_a = \frac{r_{2a}}{r_1} = \frac{2 \text{ см}}{10 \text{ см}} = \frac{1}{5}$.

Ответ: 200 оборотов; передаточное соотношение $\frac{1}{5}$.

б) Радиус ведомого шкива $r_{2b} = 3$ см.

Вычислим количество оборотов ведомого шкива:

$n_{2b} = n_1 \frac{r_1}{r_{2b}} = 40 \cdot \frac{10 \text{ см}}{3 \text{ см}} = \frac{400}{3} = 133\frac{1}{3}$ оборотов.

Теперь вычислим передаточное соотношение:

$i_b = \frac{r_{2b}}{r_1} = \frac{3 \text{ см}}{10 \text{ см}} = \frac{3}{10}$.

Ответ: $133\frac{1}{3}$ оборотов; передаточное соотношение $\frac{3}{10}$.