Номер 4.367, страница 68, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

Часть 2. Параграф 4. Действия с рациональными числами. 36. Свойства действий с рациональными числам - номер 4.367, страница 68.

Условие.

4.367. Вычислите значение алгебраической сумм:
а) –23 + 72 + 37 – 21 – 36 + 51;
б) 3,26 – 4,34 – 4,01 + 6,28 + 1,36 – 5,55;
в) 313 + 516 – 258 – 714 – 118;
г) 0,7 – 712 – 16 + 0,5 – 14 + 0,3.

Какие свойства рациональных чисел вы использовали?

Решение 1.

4.367

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }-23 + 72 + 37 – 21 – 36 + 51 = \\ = (-23 – 21 – 36) + (72 + 37 + 51) = \\ =-80 + 160 = 80 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }3,26 – 4,34 – 4,01 + 6,28 + 1,36 – 5,55 = \\ = (3,26 + 6,28 + 1,36) + (– 4,34 – 4,01 – 5,55) = \\ = 10,9 + (-13,9) = - (13,9 – 10,9) = -3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} 3\frac{1}{3} + 5\frac{1}{6} -2\frac{5}{8} -7\frac{1}{4} - 1\frac{1}{8} = \\ =\left({3\frac{1}{3}}^{\overline{)·2}} + 5\frac{1}{6}\right) + \left(-2\frac{5}{8} -{7\frac{1}{4}}^{\overline{)·2}} - 1\frac{1}{8} \right)= \\ = \left(3\frac{2}{6} + 5\frac{1}{6}\right) + \left(-2\frac{5}{8} -7\frac{2}{8} - 1\frac{1}{8} \right)= \\ =8\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{3}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{6}}}} + \left(-10\frac{8}{8}\right) = 8\frac{1}{2} + \left(-11\right) = -\left(11 - 8\frac{1}{2}\right)= \\ = -2\frac{1}{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }0,7 - \frac{7}{12} - \frac{1}{6} + 0,5 - \frac{1}{4} + 0,3= \\ = \left(0,7 + 0,5 + 0,3\right) + \left(- \frac{7}{12} - {\frac{1}{6}}^{\overline{)·2}} -{ \frac{1}{4}}^{\overline{)·3}}\right)= \\ = 1,5 + \left(- \frac{7}{12} - \frac{2}{12} - \frac{3}{12}\right)=1,5 + \left(-\frac{12}{12}\right)= \\ = 1,5 + \left(-1\right) = 0,5 \end{gathered}$$

использовано переместительное и сочетательное свойства сложения

Решение 2.

а) $-23 + 72 + 37 - 21 - 36 + 51$

Чтобы упростить вычисление, сгруппируем положительные и отрицательные слагаемые. Это возможно благодаря переместительному и сочетательному свойствам сложения.

Выражение можно переписать так: $(72 + 37 + 51) + (-23 - 21 - 36)$

Сначала сложим все положительные числа:

$72 + 37 + 51 = 109 + 51 = 160$

Затем сложим все отрицательные числа:

$-23 - 21 - 36 = -(23 + 21 + 36) = -(44 + 36) = -80$

Теперь найдем конечную сумму:

$160 - 80 = 80$

Ответ: 80

б) $3,26 - 4,34 - 4,01 + 6,28 + 1,36 - 5,55$

Сгруппируем положительные и отрицательные десятичные дроби:

$(3,26 + 6,28 + 1,36) + (-4,34 - 4,01 - 5,55)$

Найдем сумму положительных чисел:

$3,26 + 6,28 + 1,36 = 9,54 + 1,36 = 10,90$

Найдем сумму отрицательных чисел:

$-4,34 - 4,01 - 5,55 = -(4,34 + 4,01 + 5,55) = -(8,35 + 5,55) = -13,90$

Вычислим итоговый результат:

$10,90 - 13,90 = -3$

Ответ: -3

в) $3\frac{1}{3} + 5\frac{1}{6} - 2\frac{5}{8} - 7\frac{1}{4} - 1\frac{1}{8}$

Сгруппируем слагаемые для удобства вычислений, в частности те, у которых дробные части имеют одинаковые или легко приводимые знаменатели:

$(3\frac{1}{3} + 5\frac{1}{6}) - (2\frac{5}{8} + 1\frac{1}{8}) - 7\frac{1}{4}$

1. Вычислим сумму в первых скобках, приведя дроби к общему знаменателю 6:

$3\frac{1}{3} + 5\frac{1}{6} = 3\frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} + 5\frac{1}{6} = 3\frac{2}{6} + 5\frac{1}{6} = (3+5) + (\frac{2}{6} + \frac{1}{6}) = 8\frac{3}{6} = 8\frac{1}{2}$

2. Вычислим сумму во вторых скобках:

$2\frac{5}{8} + 1\frac{1}{8} = (2+1) + (\frac{5}{8} + \frac{1}{8}) = 3\frac{6}{8} = 3\frac{3}{4}$

3. Подставим полученные значения в выражение:

$8\frac{1}{2} - 3\frac{3}{4} - 7\frac{1}{4}$

4. Сгруппируем два последних слагаемых:

$8\frac{1}{2} - (3\frac{3}{4} + 7\frac{1}{4}) = 8\frac{1}{2} - ((3+7) + (\frac{3}{4} + \frac{1}{4})) = 8\frac{1}{2} - (10 + \frac{4}{4}) = 8\frac{1}{2} - (10 + 1) = 8\frac{1}{2} - 11$

5. Найдем окончательный результат:

$8\frac{1}{2} - 11 = 8,5 - 11 = -2,5 = -2\frac{1}{2}$

Ответ: $-2\frac{1}{2}$

г) $0,7 - \frac{7}{12} - \frac{1}{6} + 0,5 - \frac{1}{4} + 0,3$

Сгруппируем отдельно десятичные дроби и обыкновенные дроби:

$(0,7 + 0,5 + 0,3) - (\frac{7}{12} + \frac{1}{6} + \frac{1}{4})$

1. Найдем сумму десятичных дробей:

$0,7 + 0,5 + 0,3 = 1,2 + 0,3 = 1,5$

2. Найдем сумму обыкновенных дробей в скобках. Для этого приведем их к общему знаменателю 12:

$\frac{7}{12} + \frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12} + \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{7}{12} + \frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7+2+3}{12} = \frac{12}{12} = 1$

3. Вычислим итоговое значение:

$1,5 - 1 = 0,5$

Ответ: 0,5

Какие свойства рациональных чисел вы использовали?

При решении данных примеров были использованы следующие свойства и правила действий с рациональными числами:

• Переместительное (коммутативное) свойство сложения: $a + b = b + a$. Это свойство позволило менять слагаемые местами для удобной группировки.
• Сочетательное (ассоциативное) свойство сложения: $(a + b) + c = a + (b + c)$. Это свойство позволило объединять слагаемые в группы (например, сначала сложить все положительные, а затем все отрицательные числа).
• Правило вычитания: вычитание числа $b$ равносильно прибавлению противоположного ему числа $-b$, то есть $a - b = a + (-b)$. Это позволяет рассматривать алгебраическую сумму как сумму положительных и отрицательных чисел и применять к ней свойства сложения.
• Распределительное свойство умножения относительно сложения: $c(a+b) = ca + cb$. Это свойство, в частности, использовалось при вынесении знака "минус" за скобки: $-a - b = -(a + b)$.
• Основное свойство дроби: $\frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c}$ при $c \ne 0$. Оно применялось для приведения дробей к общему знаменателю.
• Правила сложения и вычитания дробей, смешанных чисел, десятичных дробей, а также чисел с разными знаками.

Решение 3.

Решение 4.