Номер 6.5, страница 99, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

41. Перпендикулярные прямые. § 6. Координаты на плоскости. ч. 2 - номер 6.5, страница 99.

6.5. Постройте прямой угол А. Отметьте на сторонах угла точки В и D так, что АВ = AD, и проведите через них прямые, перпендикулярные сторонам угла. Отметьте точку С пересечения этих прямых. Как называется четырёхугольник ABCD?

6.5

ABCD – квадрат

Постройте прямой угол А. Отметьте на сторонах угла точки B и D так, что AB = AD, и проведите через них прямые, перпендикулярные сторонам угла. Отметьте точку C пересечения этих прямых.

Выполним построение в соответствии с условиями задачи:
1. Строим прямой угол с вершиной в точке A.
2. На сторонах угла отмечаем точки B и D так, чтобы отрезки $AB$ и $AD$ были равны ($AB = AD$).
3. Через точку B проводим прямую, перпендикулярную стороне, на которой лежит точка B (то есть прямой AB).
4. Аналогично, через точку D проводим прямую, перпендикулярную стороне, на которой лежит точка D (то есть прямой AD).
5. Точку пересечения этих двух построенных прямых обозначаем как C.
В результате этих действий мы получаем четырёхугольник ABCD.

Как называется четырёхугольник ABCD?

Чтобы определить вид четырёхугольника ABCD, проанализируем его свойства, вытекающие из построения.
Сначала рассмотрим углы фигуры.

• Угол $\angle A$ — прямой по условию, то есть $\angle A = 90^\circ$.
• Прямая, содержащая сторону BC, по построению перпендикулярна прямой, содержащей сторону AB. Следовательно, угол $\angle B = 90^\circ$.
• Аналогично, прямая, содержащая сторону DC, перпендикулярна прямой, содержащей сторону AD. Следовательно, угол $\angle D = 90^\circ$.
• Сумма углов любого выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$. Поэтому угол $\angle C = 360^\circ - \angle A - \angle B - \angle D = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Так как все углы четырёхугольника ABCD прямые, он является прямоугольником.

Теперь рассмотрим стороны фигуры.

• По условию, смежные стороны $AB$ и $AD$ равны: $AB = AD$.
• Поскольку ABCD — прямоугольник, его противолежащие стороны равны, то есть $AB = CD$ и $AD = BC$.
• Из этих двух фактов следует, что все четыре стороны четырёхугольника равны между собой: $AB = BC = CD = DA$.

Прямоугольник, у которого все стороны равны, является квадратом.

Ответ: Четырёхугольник ABCD является квадратом.