Вопрос критерии успеха, страница 38 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Каким свойством обладает возведение степени в степень?

Возведение степени в степень обладает следующим основным свойством: при возведении степени в степень основание степени остается прежним, а показатели степеней перемножаются.

Это свойство можно выразить с помощью формулы. Для любого числа a и любых показателей m и n справедливо равенство:

$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

Это правило верно для натуральных, целых, рациональных и действительных показателей степени.

Доказательство свойства (для натуральных показателей):

По определению степени с натуральным показателем n, выражение $(a^m)^n$ представляет собой произведение n сомножителей, каждый из которых равен $a^m$:

$(a^m)^n = \underbrace{a^m \cdot a^m \cdot \dots \cdot a^m}_{n \text{ раз}}$

Далее, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием (при котором показатели складываются), получаем:

$\underbrace{a^m \cdot a^m \cdot \dots \cdot a^m}_{n \text{ раз}} = a^{\overbrace{m+m+\dots+m}^{n \text{ раз}}}$

Сумма n слагаемых, каждое из которых равно m, есть произведение $m \cdot n$. Таким образом, мы приходим к итоговой формуле:

$a^{\overbrace{m+m+\dots+m}^{n \text{ раз}}} = a^{m \cdot n}$

Что и доказывает свойство.

Примеры:

1. Вычислим $(5^2)^3$.

Используя свойство, получаем: $(5^2)^3 = 5^{2 \cdot 3} = 5^6$.

Выполним вычисления: $5^6 = 15625$.

Проверим без использования свойства: $(5^2)^3 = (25)^3 = 25 \cdot 25 \cdot 25 = 625 \cdot 25 = 15625$. Результаты совпадают.

2. Упростим выражение $(x^4)^5$.

$(x^4)^5 = x^{4 \cdot 5} = x^{20}$.

3. Пример с отрицательным и дробным показателями: $(y^{-3})^{1/3}$.

$(y^{-3})^{1/3} = y^{-3 \cdot \frac{1}{3}} = y^{-1} = \frac{1}{y}$.

Ответ: При возведении степени в степень основание оставляют тем же, а показатели перемножают. Формула: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.