Номер 3.19, страница 36 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.19. Найдите значение выражения:

1)

$\frac{(-6)^{19} \cdot (-6)^{33}}{3.2^{24} \cdot 3.2^6} \cdot \frac{3.2^{96} \cdot 3.2^{12}}{(-6)^{28} \cdot (-6)^{29}} \cdot \frac{(-6)^6}{3.2^{77}}$

2)

$\frac{1.7^{40} \cdot 1.7^{12} \cdot 20^{30}}{1.7^{39} \cdot 20^6 \cdot 20^7} \cdot \frac{20^7 \cdot 20^8}{1.7^{13} \cdot 1.7^9} \cdot \frac{1.7^{10}}{20^{31}}$

1) Чтобы найти значение данного выражения, мы будем использовать свойства степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

Исходное выражение: $ \frac{(-6)^{19} \cdot (-6)^{33}}{3,2^{24} \cdot 3,2^{6}} \cdot \frac{3,2^{96} \cdot 3,2^{12}}{(-6)^{28} \cdot (-6)^{29}} \cdot \frac{(-6)^{6}}{3,2^{77}} $.

Сгруппируем все множители с одинаковыми основаниями. Для этого запишем все числители под одной чертой дроби и все знаменатели под ней же:

$ \frac{(-6)^{19} \cdot (-6)^{33} \cdot 3,2^{96} \cdot 3,2^{12} \cdot (-6)^{6}}{3,2^{24} \cdot 3,2^{6} \cdot (-6)^{28} \cdot (-6)^{29} \cdot 3,2^{77}} $

Теперь перегруппируем множители так, чтобы основания были рядом:

$ \frac{((-6)^{19} \cdot (-6)^{33} \cdot (-6)^{6}) \cdot (3,2^{96} \cdot 3,2^{12})}{((-6)^{28} \cdot (-6)^{29}) \cdot (3,2^{24} \cdot 3,2^{6} \cdot 3,2^{77})} $

Применим свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для упрощения числителя и знаменателя.

Суммируем показатели степеней для основания $ (-6) $ в числителе: $19 + 33 + 6 = 58$.

Суммируем показатели степеней для основания $ 3,2 $ в числителе: $96 + 12 = 108$.

Суммируем показатели степеней для основания $ (-6) $ в знаменателе: $28 + 29 = 57$.

Суммируем показатели степеней для основания $ 3,2 $ в знаменателе: $24 + 6 + 77 = 107$.

Подставим полученные значения в выражение:

$ \frac{(-6)^{58} \cdot 3,2^{108}}{(-6)^{57} \cdot 3,2^{107}} $

Теперь применим свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$ \frac{(-6)^{58}}{(-6)^{57}} \cdot \frac{3,2^{108}}{3,2^{107}} = (-6)^{58-57} \cdot 3,2^{108-107} = (-6)^1 \cdot 3,2^1 $

Вычислим финальное значение:

$ -6 \cdot 3,2 = -19,2 $

Ответ: -19,2

2) Аналогично первому пункту, используем свойства степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

Исходное выражение: $ \frac{1,7^{40} \cdot 1,7^{12} \cdot 20^{30}}{1,7^{39} \cdot 20^{6} \cdot 20^{7}} \cdot \frac{20^{7} \cdot 20^{8}}{1,7^{13} \cdot 1,7^{9}} \cdot \frac{1,7^{10}}{20^{31}} $.

Сгруппируем множители с основаниями $1,7$ и $20$. Запишем все в виде одной дроби:

$ \frac{(1,7^{40} \cdot 1,7^{12} \cdot 1,7^{10}) \cdot (20^{30} \cdot 20^{7} \cdot 20^{8})}{(1,7^{39} \cdot 1,7^{13} \cdot 1,7^{9}) \cdot (20^{6} \cdot 20^{7} \cdot 20^{31})} $

Суммируем показатели степеней для каждого основания в числителе и знаменателе.

Для числителя:

Основание $ 1,7 $: $40 + 12 + 10 = 62$.

Основание $ 20 $: $30 + 7 + 8 = 45$.

Для знаменателя:

Основание $ 1,7 $: $39 + 13 + 9 = 61$.

Основание $ 20 $: $6 + 7 + 31 = 44$.

Выражение принимает вид:

$ \frac{1,7^{62} \cdot 20^{45}}{1,7^{61} \cdot 20^{44}} $

Применим свойство частного степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$ \frac{1,7^{62}}{1,7^{61}} \cdot \frac{20^{45}}{20^{44}} = 1,7^{62-61} \cdot 20^{45-44} = 1,7^1 \cdot 20^1 $

Вычислим результат:

$ 1,7 \cdot 20 = 34 $

Ответ: 34