Номер 3.18, страница 36 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.18. Вычислите:

1) $ \frac{(-5)^6 \cdot (-5)^7 \cdot (-5)^8}{(-5)^{14} \cdot (-5)^4}; $

2) $ \frac{1,2^{40} \cdot 1,2^{25} \cdot 1,2^4}{1,2^{59} \cdot 1,2^8}; $

3) $ \frac{\left(\frac{1}{3}\right)^{10} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{20} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{30}}{\left(\frac{1}{3}\right)^{34} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{23}}; $

4) $ \frac{\left(-\frac{1}{6}\right)^{25} \cdot \left(-\frac{1}{6}\right)^{19} \cdot \left(-\frac{1}{6}\right)^{16}}{\left(-\frac{1}{6}\right)^8 \cdot \left(-\frac{1}{6}\right)^{49}}. $

1) Для решения данного примера используются свойства степеней. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, согласно правилу $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются, согласно правилу $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. Сначала упростим выражение в числителе, сложив показатели степеней: $(-5)^6 \cdot (-5)^7 \cdot (-5)^8 = (-5)^{6+7+8} = (-5)^{21}$. Затем упростим выражение в знаменателе: $(-5)^{14} \cdot (-5)^4 = (-5)^{14+4} = (-5)^{18}$. Теперь выполним деление, вычитая показатель знаменателя из показателя числителя: $\frac{(-5)^{21}}{(-5)^{18}} = (-5)^{21-18} = (-5)^3$. Вычислим полученное значение: $(-5)^3 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = -125$. Ответ: -125

2) Аналогично первому примеру, применим свойства степеней для основания $1,2$. Упростим числитель, сложив показатели: $1,2^{40} \cdot 1,2^{25} \cdot 1,2^4 = 1,2^{40+25+4} = 1,2^{69}$. Упростим знаменатель: $1,2^{59} \cdot 1,2^8 = 1,2^{59+8} = 1,2^{67}$. Выполним деление: $\frac{1,2^{69}}{1,2^{67}} = 1,2^{69-67} = 1,2^2$. Вычислим результат: $1,2^2 = 1,44$. Ответ: 1,44

3) Используем те же свойства степеней для основания $\frac{1}{3}$. Складываем показатели в числителе: $(\frac{1}{3})^{10} \cdot (\frac{1}{3})^{20} \cdot (\frac{1}{3})^{30} = (\frac{1}{3})^{10+20+30} = (\frac{1}{3})^{60}$. Складываем показатели в знаменателе: $(\frac{1}{3})^{34} \cdot (\frac{1}{3})^{23} = (\frac{1}{3})^{34+23} = (\frac{1}{3})^{57}$. Производим деление: $\frac{(\frac{1}{3})^{60}}{(\frac{1}{3})^{57}} = (\frac{1}{3})^{60-57} = (\frac{1}{3})^3$. Возводим дробь в степень: $(\frac{1}{3})^3 = \frac{1^3}{3^3} = \frac{1}{27}$. Ответ: $\frac{1}{27}$

4) Применим свойства степеней для отрицательного основания $(-\frac{1}{6})$. Упростим числитель: $(-\frac{1}{6})^{25} \cdot (-\frac{1}{6})^{19} \cdot (-\frac{1}{6})^{16} = (-\frac{1}{6})^{25+19+16} = (-\frac{1}{6})^{60}$. Упростим знаменатель: $(-\frac{1}{6})^8 \cdot (-\frac{1}{6})^{49} = (-\frac{1}{6})^{8+49} = (-\frac{1}{6})^{57}$. Выполним деление степеней: $\frac{(-\frac{1}{6})^{60}}{(-\frac{1}{6})^{57}} = (-\frac{1}{6})^{60-57} = (-\frac{1}{6})^3$. Поскольку отрицательное число возводится в нечетную степень, результат будет отрицательным: $(-\frac{1}{6})^3 = -(\frac{1}{6})^3 = -\frac{1^3}{6^3} = -\frac{1}{216}$. Ответ: $-\frac{1}{216}$