Номер 3.15, страница 35 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.15. Упростите выражение:

1) $9^n : 9^5$;

2) $(-10)^6 : (-10)^m$;

3) $3,7^k : 3,7^{11}$;

4) $(\frac{3}{16})^6 : (\frac{3}{16})^d$;

5) $(8\frac{1}{4})^c : (8\frac{1}{4})$;

6) $(-2,4)^t : (-2,4)$;

7) $11^k : 11^4 \cdot 11^{k+1}$;

8) $20^{10} : 20^t \cdot 20^{3+t}$;

9) $(-9)^{20t} : (-9)^{t+5} : (-9)$;

10) $(\frac{1}{4})^{3k} : (\frac{1}{4})^k \cdot (\frac{1}{4})^{2k+3}$;

11) $(-\frac{1}{9})^{5t-2} : (-\frac{1}{9}) \cdot (-\frac{1}{9})^{5t}$;

12) $2,1^{t+3} \cdot 2,1^{6t} : 2,1^{4t+3}$.

1) Для упрощения выражения $9^n : 9^5$ применяется правило деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$. В данном случае основание $a=9$, а показатели степеней равны $n$ и $5$. Выполним вычитание показателей: $9^n : 9^5 = 9^{n-5}$.

Ответ: $9^{n-5}$.

2) Для упрощения выражения $(-10)^6 : (-10)^m$ используется правило деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$. Основание $a=-10$, показатели степеней равны $6$ и $m$. Таким образом, $(-10)^6 : (-10)^m = (-10)^{6-m}$.

Ответ: $(-10)^{6-m}$.

3) Выражение $3,7^k : 3,7^{11}$ упрощается с помощью правила деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$. Здесь основание $a=3,7$, а показатели степеней $k$ и $11$. Получаем: $3,7^k : 3,7^{11} = 3,7^{k-11}$.

Ответ: $3,7^{k-11}$.

4) Для упрощения $(\frac{3}{16})^6 : (\frac{3}{16})^d$ применим правило деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$. Основание $a=\frac{3}{16}$, показатели степеней $6$ и $d$. Следовательно, $(\frac{3}{16})^6 : (\frac{3}{16})^d = (\frac{3}{16})^{6-d}$.

Ответ: $(\frac{3}{16})^{6-d}$.

5) В выражении $(8\frac{1}{4})^c : (8\frac{1}{4})$ второе число можно представить как степень с показателем 1: $(8\frac{1}{4})^1$. Применяем правило деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$: $(8\frac{1}{4})^c : (8\frac{1}{4})^1 = (8\frac{1}{4})^{c-1}$.

Ответ: $(8\frac{1}{4})^{c-1}$.

6) В выражении $(-2,4)^t : (-2,4)$ делитель $(-2,4)$ имеет показатель степени 1. Используем правило деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$: $(-2,4)^t : (-2,4)^1 = (-2,4)^{t-1}$.

Ответ: $(-2,4)^{t-1}$.

7) В выражении $11^k : 11^4 \cdot 11^{k+1}$ действия выполняются последовательно слева направо. Сначала выполним деление: $11^k : 11^4 = 11^{k-4}$ (по правилу $a^m : a^n = a^{m-n}$). Затем выполним умножение: $11^{k-4} \cdot 11^{k+1} = 11^{(k-4)+(k+1)} = 11^{2k-3}$ (по правилу $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$).

Ответ: $11^{2k-3}$.

8) В выражении $20^{10} : 20^t \cdot 20^{3+t}$ действия выполняются слева направо. Первое действие — деление: $20^{10} : 20^t = 20^{10-t}$. Второе действие — умножение: $20^{10-t} \cdot 20^{3+t} = 20^{(10-t)+(3+t)} = 20^{10-t+3+t} = 20^{13}$.

Ответ: $20^{13}$.

9) В выражении $(-9)^{20t} : (-9)^{t+5} : (-9)$ все действия — деление, выполняем их слева направо. Заметим, что $(-9) = (-9)^1$. Первое деление: $(-9)^{20t} : (-9)^{t+5} = (-9)^{20t - (t+5)} = (-9)^{20t-t-5} = (-9)^{19t-5}$. Второе деление: $(-9)^{19t-5} : (-9)^1 = (-9)^{(19t-5)-1} = (-9)^{19t-6}$.

Ответ: $(-9)^{19t-6}$.

10) В выражении $(\frac{1}{4})^{3k} : (\frac{1}{4})^k \cdot (\frac{1}{4})^{2k+3}$ действия выполняются слева направо. Сначала деление: $(\frac{1}{4})^{3k} : (\frac{1}{4})^k = (\frac{1}{4})^{3k-k} = (\frac{1}{4})^{2k}$. Затем умножение: $(\frac{1}{4})^{2k} \cdot (\frac{1}{4})^{2k+3} = (\frac{1}{4})^{2k + (2k+3)} = (\frac{1}{4})^{4k+3}$.

Ответ: $(\frac{1}{4})^{4k+3}$.

11) В выражении $(-\frac{1}{9})^{5t-2} : (-\frac{1}{9}) \cdot (-\frac{1}{9})^{5t}$ действия выполняются слева направо. Заметим, что $(-\frac{1}{9}) = (-\frac{1}{9})^1$. Первый шаг (деление): $(-\frac{1}{9})^{5t-2} : (-\frac{1}{9})^1 = (-\frac{1}{9})^{(5t-2)-1} = (-\frac{1}{9})^{5t-3}$. Второй шаг (умножение): $(-\frac{1}{9})^{5t-3} \cdot (-\frac{1}{9})^{5t} = (-\frac{1}{9})^{(5t-3)+5t} = (-\frac{1}{9})^{10t-3}$.

Ответ: $(-\frac{1}{9})^{10t-3}$.

12) В выражении $2,1^{t+3} \cdot 2,1^{6t} : 2,1^{4t+3}$ действия выполняются слева направо. Сначала умножение: $2,1^{t+3} \cdot 2,1^{6t} = 2,1^{(t+3)+6t} = 2,1^{7t+3}$. Затем деление: $2,1^{7t+3} : 2,1^{4t+3} = 2,1^{(7t+3)-(4t+3)} = 2,1^{7t+3-4t-3} = 2,1^{3t}$.

Ответ: $2,1^{3t}$.