Номер 3.10, страница 34 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.10. Вычислите:

1) $3^{25} : 3^{22} \cdot 3^2;$

2) $6^{20} \cdot 6^{18} : 6^{35};$

3) $\left(\frac{5}{9}\right)^{40} : \left(\frac{5}{9}\right)^{36} : \left(\frac{5}{9}\right)^2;$

4) $\left(-\frac{1}{2}\right)^{50} : \left(-\frac{1}{2}\right)^{49} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^4;$

5) $(1.1)^{17} \cdot (1.1) : (1.1)^{16};$

6) $(-1.3)^{29} : (-1.3)^{28} \cdot (-1.3).$

1) Для вычисления выражения $3^{25} : 3^{22} \cdot 3^2$ воспользуемся свойствами степеней с одинаковым основанием. При делении степеней показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$), а при умножении – складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$). Выполним действия последовательно слева направо.

Сначала выполним деление: $3^{25} : 3^{22} = 3^{25-22} = 3^3$.

Затем выполним умножение: $3^3 \cdot 3^2 = 3^{3+2} = 3^5$.

Вычислим полученное значение: $3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$.

Можно объединить все действия с показателями в одно: $3^{25-22+2} = 3^5 = 243$.

Ответ: 243.

2) Для вычисления выражения $6^{20} \cdot 6^{18} : 6^{35}$ используем те же свойства степеней, что и в предыдущем примере. Выполняем действия слева направо.

Сначала умножение: $6^{20} \cdot 6^{18} = 6^{20+18} = 6^{38}$.

Затем деление: $6^{38} : 6^{35} = 6^{38-35} = 6^3$.

Вычислим результат: $6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$.

Объединенное действие с показателями: $6^{20+18-35} = 6^3 = 216$.

Ответ: 216.

3) В выражении $(\frac{5}{9})^{40} : (\frac{5}{9})^{36} : (\frac{5}{9})^2$ основание степени является дробью, но правила действий со степенями остаются теми же. Выполняем деление последовательно.

Первое деление: $(\frac{5}{9})^{40} : (\frac{5}{9})^{36} = (\frac{5}{9})^{40-36} = (\frac{5}{9})^4$.

Второе деление: $(\frac{5}{9})^4 : (\frac{5}{9})^2 = (\frac{5}{9})^{4-2} = (\frac{5}{9})^2$.

Возведем дробь в квадрат: $(\frac{5}{9})^2 = \frac{5^2}{9^2} = \frac{25}{81}$.

Объединенное действие с показателями: $(\frac{5}{9})^{40-36-2} = (\frac{5}{9})^2 = \frac{25}{81}$.

Ответ: $\frac{25}{81}$.

4) В выражении $(-\frac{1}{2})^{50} : (-\frac{1}{2})^{49} \cdot (-\frac{1}{2})^4$ основание степени – отрицательная дробь. Правила действий со степенями сохраняются. Выполняем действия слева направо.

Деление: $(-\frac{1}{2})^{50} : (-\frac{1}{2})^{49} = (-\frac{1}{2})^{50-49} = (-\frac{1}{2})^1 = -\frac{1}{2}$.

Умножение: $(-\frac{1}{2})^1 \cdot (-\frac{1}{2})^4 = (-\frac{1}{2})^{1+4} = (-\frac{1}{2})^5$.

При возведении отрицательного числа в нечетную степень результат будет отрицательным. Вычислим значение: $(-\frac{1}{2})^5 = -(\frac{1}{2})^5 = -\frac{1^5}{2^5} = -\frac{1}{32}$.

Объединенное действие с показателями: $(-\frac{1}{2})^{50-49+4} = (-\frac{1}{2})^5 = -\frac{1}{32}$.

Ответ: $-\frac{1}{32}$.

5) В выражении $(1,1)^{17} \cdot (1,1) : (1,1)^{16}$ основание степени – десятичная дробь. Число $(1,1)$ можно представить как $(1,1)^1$.

Выполняем действия слева направо, используя свойства степеней.

Умножение: $(1,1)^{17} \cdot (1,1)^1 = (1,1)^{17+1} = (1,1)^{18}$.

Деление: $(1,1)^{18} : (1,1)^{16} = (1,1)^{18-16} = (1,1)^2$.

Вычислим значение: $(1,1)^2 = 1,1 \cdot 1,1 = 1,21$.

Объединенное действие с показателями: $(1,1)^{17+1-16} = (1,1)^2 = 1,21$.

Ответ: 1,21.

6) В выражении $(-1,3)^{29} : (-1,3)^{28} \cdot (-1,3)$ основание степени – отрицательное десятичное число. Число $(-1,3)$ равно $(-1,3)^1$.

Выполняем действия слева направо.

Деление: $(-1,3)^{29} : (-1,3)^{28} = (-1,3)^{29-28} = (-1,3)^1 = -1,3$.

Умножение: $(-1,3)^1 \cdot (-1,3)^1 = (-1,3)^{1+1} = (-1,3)^2$.

При возведении отрицательного числа в четную степень результат будет положительным. Вычислим значение: $(-1,3)^2 = 1,3 \cdot 1,3 = 1,69$.

Объединенное действие с показателями: $(-1,3)^{29-28+1} = (-1,3)^2 = 1,69$.

Ответ: 1,69.