Номер 3.16, страница 36 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.16. Вычислите:

1) $(2^{30} \div 2^{15} \div 2^{10}) \cdot (5^{27} \div 5^{26} \div 5)$

2) $(3^{13} \div 3^{12} \div 3^{3}) \div (7^{17} \div 7^{15} \div 7^{2})$

3) $(4^{10} \div 4^{8}) \cdot (6^{8} \div 6^{6}) \div (24^{37} \div 24^{34})$

4) $(9^{22} \div 9^{20}) \cdot (8^{5} \div 8^{3}) \div (6^{18} \div 6^{15})$

1) Для решения этого примера воспользуемся свойствами степеней: при делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$), а при умножении — складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$). Также учтем, что $a = a^1$. Вычисления в скобках производятся последовательно слева направо.

Вычислим значение первого сомножителя в скобках: $2^{30} : 2^{15} : 2^{10} = 2^{30-15-10} = 2^5$.

Вычислим значение второго сомножителя в скобках: $5^{27} : 5^{26} \cdot 5 = 5^{27-26+1} = 5^2$.

Теперь перемножим полученные результаты: $2^5 \cdot 5^2 = 32 \cdot 25 = 800$.

Ответ: 800

2) Используем те же свойства степеней, что и в предыдущем примере. Действия выполняем слева направо.

Вычислим значение делимого: $3^{13} : 3^{12} \cdot 3^3 = 3^{13-12+3} = 3^4 = 81$.

Вычислим значение делителя: $7^{17} : 7^{15} : 7^2 = 7^{17-15-2} = 7^0 = 1$ (любое число в нулевой степени равно 1).

Разделим полученные результаты: $81 : 1 = 81$.

Ответ: 81

3) Сначала выполним действия в каждой из скобок, используя свойство деления степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$4^{10} : 4^8 = 4^{10-8} = 4^2$.

$6^8 : 6^6 = 6^{8-6} = 6^2$.

$24^{37} : 24^{34} = 24^{37-34} = 24^3$.

Теперь подставим полученные значения в исходное выражение: $4^2 \cdot 6^2 : 24^3$.

Воспользуемся свойством $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$: $4^2 \cdot 6^2 = (4 \cdot 6)^2 = 24^2$.

Выражение принимает вид: $24^2 : 24^3 = 24^{2-3} = 24^{-1} = \frac{1}{24}$.

Ответ: $\frac{1}{24}$

4) Решим по аналогии с предыдущим примером, выполняя сначала действия в скобках.

$9^{22} : 9^{20} = 9^{22-20} = 9^2$.

$8^5 : 8^3 = 8^{5-3} = 8^2$.

$6^{18} : 6^{15} = 6^{18-15} = 6^3$.

Получаем выражение: $9^2 \cdot 8^2 : 6^3$.

Для удобства вычислений разложим основания на простые множители: $9=3^2$, $8=2^3$, $6=2 \cdot 3$.

$9^2 = (3^2)^2 = 3^4$.

$8^2 = (2^3)^2 = 2^6$.

$6^3 = (2 \cdot 3)^3 = 2^3 \cdot 3^3$.

Подставим это в выражение: $(3^4 \cdot 2^6) : (2^3 \cdot 3^3)$.

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями: $(3^4 : 3^3) \cdot (2^6 : 2^3) = 3^{4-3} \cdot 2^{6-3} = 3^1 \cdot 2^3 = 3 \cdot 8 = 24$.

Ответ: 24