Номер 3.12, страница 35 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.12. Найдите значение выражений:

1) $\frac{a^{20} \cdot a^{20}}{a^{17} \cdot a^{19}}$ при $a = 5$; $-\frac{3}{11}$; $0,2$; $-4$;

2) $\frac{b^{40} \cdot b^{10} \cdot b^{38}}{b^{37} \cdot b^{49}}$ при $b = 8$; $-1,3$; $\frac{5}{3}$; $-6$.

1) Сначала упростим выражение $\frac{a^{20} \cdot a^{20}}{a^{17} \cdot a^{19}}$. Для этого воспользуемся свойствами степеней.

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются (свойство $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$).

При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя (свойство $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$).

Упростим числитель дроби: $a^{20} \cdot a^{20} = a^{20+20} = a^{40}$.

Упростим знаменатель дроби: $a^{17} \cdot a^{19} = a^{17+19} = a^{36}$.

Теперь разделим числитель на знаменатель: $\frac{a^{40}}{a^{36}} = a^{40-36} = a^4$.

Далее, найдем значение упрощенного выражения $a^4$ для каждого из заданных значений a.

При $a = 5$: $a^4 = 5^4 = 625$.

При $a = -\frac{3}{11}$: $a^4 = (-\frac{3}{11})^4 = \frac{(-3)^4}{11^4} = \frac{81}{14641}$.

При $a = 0,2$: $a^4 = (0,2)^4 = (\frac{1}{5})^4 = \frac{1^4}{5^4} = \frac{1}{625} = 0,0016$.

При $a = -4$: $a^4 = (-4)^4 = 256$.

Ответ: $625$; $\frac{81}{14641}$; $0,0016$; $256$.

2) Упростим выражение $\frac{b^{40} \cdot b^{10} \cdot b^{38}}{b^{37} \cdot b^{49}}$, используя те же свойства степеней.

Упрощаем числитель, складывая показатели: $b^{40} \cdot b^{10} \cdot b^{38} = b^{40+10+38} = b^{88}$.

Упрощаем знаменатель, также складывая показатели: $b^{37} \cdot b^{49} = b^{37+49} = b^{86}$.

Делим числитель на знаменатель, вычитая показатели: $\frac{b^{88}}{b^{86}} = b^{88-86} = b^2$.

Теперь найдем значение упрощенного выражения $b^2$ для каждого из заданных значений b.

При $b = 8$: $b^2 = 8^2 = 64$.

При $b = -1,3$: $b^2 = (-1,3)^2 = 1,69$.

При $b = \frac{5}{3}$: $b^2 = (\frac{5}{3})^2 = \frac{5^2}{3^2} = \frac{25}{9}$.

При $b = -6$: $b^2 = (-6)^2 = 36$.

Ответ: $64$; $1,69$; $\frac{25}{9}$; $36$.