Номер 3.14, страница 35 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.14. Сравните значения выражений:

1) $4^5 : 4^3$ и $2^8 : 2^6$;

2) $(-9)^{10} : (-9)^9$ и $(-8)^9 : (-8)^8$;

3) $10^{20} : 10^{19} \cdot 10^2$ и $2^{40} : 2^{35} \cdot 2^5$;

4) $\left(-\frac{1}{3}\right)^{60} : \left(-\frac{1}{3}\right)^{58}$ и $\left(-\frac{1}{2}\right)^{40} : \left(-\frac{1}{2}\right)^{36}$.

1) Сравним значения выражений $4^5 : 4^3$ и $2^8 : 2^6$.

Сначала упростим первое выражение, используя свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$:

$4^5 : 4^3 = 4^{5-3} = 4^2 = 16$.

Теперь упростим второе выражение, используя то же свойство:

$2^8 : 2^6 = 2^{8-6} = 2^2 = 4$.

Сравниваем полученные результаты: $16 > 4$.

Таким образом, $4^5 : 4^3 > 2^8 : 2^6$.

Ответ: $4^5 : 4^3 > 2^8 : 2^6$.

2) Сравним значения выражений $(-9)^{10} : (-9)^9$ и $(-8)^9 : (-8)^8$.

Упростим первое выражение:

$(-9)^{10} : (-9)^9 = (-9)^{10-9} = (-9)^1 = -9$.

Упростим второе выражение:

$(-8)^9 : (-8)^8 = (-8)^{9-8} = (-8)^1 = -8$.

Сравниваем полученные результаты: $-9 < -8$.

Таким образом, $(-9)^{10} : (-9)^9 < (-8)^9 : (-8)^8$.

Ответ: $(-9)^{10} : (-9)^9 < (-8)^9 : (-8)^8$.

3) Сравним значения выражений $10^{20} : 10^{19} \cdot 10^2$ и $2^{40} : 2^{35} \cdot 2^5$.

Упростим первое выражение, выполняя действия по порядку. Используем свойства $a^m : a^n = a^{m-n}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$10^{20} : 10^{19} \cdot 10^2 = 10^{20-19} \cdot 10^2 = 10^1 \cdot 10^2 = 10^{1+2} = 10^3 = 1000$.

Упростим второе выражение аналогичным образом:

$2^{40} : 2^{35} \cdot 2^5 = 2^{40-35} \cdot 2^5 = 2^5 \cdot 2^5 = 2^{5+5} = 2^{10} = 1024$.

Сравниваем полученные результаты: $1000 < 1024$.

Таким образом, $10^{20} : 10^{19} \cdot 10^2 < 2^{40} : 2^{35} \cdot 2^5$.

Ответ: $10^{20} : 10^{19} \cdot 10^2 < 2^{40} : 2^{35} \cdot 2^5$.

4) Сравним значения выражений $(-\frac{1}{3})^{60} : (-\frac{1}{3})^{58}$ и $(-\frac{1}{2})^{40} : (-\frac{1}{2})^{36}$.

Упростим первое выражение:

$(-\frac{1}{3})^{60} : (-\frac{1}{3})^{58} = (-\frac{1}{3})^{60-58} = (-\frac{1}{3})^2$.

Так как показатель степени четный, результат положителен: $(-\frac{1}{3})^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$.

Упростим второе выражение:

$(-\frac{1}{2})^{40} : (-\frac{1}{2})^{36} = (-\frac{1}{2})^{40-36} = (-\frac{1}{2})^4$.

Так как показатель степени четный, результат также положителен: $(-\frac{1}{2})^4 = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$.

Сравниваем полученные дроби $\frac{1}{9}$ и $\frac{1}{16}$. Из двух дробей с одинаковыми числителями (равными 1) больше та, у которой знаменатель меньше.

Поскольку $9 < 16$, то $\frac{1}{9} > \frac{1}{16}$.

Таким образом, $(-\frac{1}{3})^{60} : (-\frac{1}{3})^{58} > (-\frac{1}{2})^{40} : (-\frac{1}{2})^{36}$.

Ответ: $(-\frac{1}{3})^{60} : (-\frac{1}{3})^{58} > (-\frac{1}{2})^{40} : (-\frac{1}{2})^{36}$.