Номер 9.8, страница 71 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.8. Даны числа: $x = 1,3 \cdot 10^6$; $y = 2,4 \cdot 10^4$; $z = 2 \cdot 10^{-2}$. Найдите:

1) $x + y$

2) $z - y$

3) $x \cdot y$

4) $x : z$

5) $y + z - x$

6) $x \cdot y : z$

1) x + y;

Для сложения чисел, записанных в стандартном виде, необходимо привести их к одинаковому показателю степени основания 10. Приведем y к тому же порядку, что и x (т.е. к $10^6$).

Дано: $x = 1.3 \cdot 10^6$ и $y = 2.4 \cdot 10^4$.

Представим y, умножив и разделив на $10^2$:

$y = 2.4 \cdot 10^4 = 2.4 \cdot 10^{-2} \cdot 10^2 \cdot 10^4 = 0.024 \cdot 10^{6}$.

Теперь выполним сложение:

$x + y = 1.3 \cdot 10^6 + 0.024 \cdot 10^6 = (1.3 + 0.024) \cdot 10^6 = 1.324 \cdot 10^6$.

Другой способ — перевести числа в десятичный вид:

$x = 1,300,000$

$y = 24,000$

$x + y = 1,300,000 + 24,000 = 1,324,000$.

Запишем результат в стандартном виде: $1,324,000 = 1.324 \cdot 10^6$.

Ответ: $1.324 \cdot 10^6$.

2) z - y;

Дано: $z = 2 \cdot 10^{-2}$ и $y = 2.4 \cdot 10^4$.

Так как порядки чисел сильно отличаются, удобнее всего выполнить вычитание, представив числа в десятичной форме.

$z = 2 \cdot 10^{-2} = 0.02$

$y = 2.4 \cdot 10^4 = 24,000$

$z - y = 0.02 - 24,000 = -23,999.98$.

Если записать результат в стандартном виде:

$-23,999.98 = -2.399998 \cdot 10^4$.

Ответ: $-23,999.98$ (или $-2.399998 \cdot 10^4$).

3) x · y;

При умножении чисел в стандартном виде их мантиссы (числовые множители) перемножаются, а показатели степеней при основании 10 складываются.

$x \cdot y = (1.3 \cdot 10^6) \cdot (2.4 \cdot 10^4) = (1.3 \cdot 2.4) \cdot 10^{6+4}$.

Вычислим произведение мантисс: $1.3 \cdot 2.4 = 3.12$.

Вычислим сумму показателей: $6 + 4 = 10$.

Результат: $x \cdot y = 3.12 \cdot 10^{10}$.

Ответ: $3.12 \cdot 10^{10}$.

4) x : z;

При делении чисел в стандартном виде мантисса делимого делится на мантиссу делителя, а из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя.

$x : z = (1.3 \cdot 10^6) : (2 \cdot 10^{-2}) = (\frac{1.3}{2}) \cdot 10^{6 - (-2)}$.

Вычислим частное мантисс: $\frac{1.3}{2} = 0.65$.

Вычислим разность показателей: $6 - (-2) = 6 + 2 = 8$.

Получаем: $0.65 \cdot 10^8$.

Для записи в стандартном виде мантисса должна быть в диапазоне $[1, 10)$. Преобразуем результат:

$0.65 \cdot 10^8 = (6.5 \cdot 10^{-1}) \cdot 10^8 = 6.5 \cdot 10^{-1+8} = 6.5 \cdot 10^7$.

Ответ: $6.5 \cdot 10^7$.

5) y + z - x;

Для выполнения сложения и вычитания чисел с разными порядками, удобнее перевести их в десятичный вид.

$y = 2.4 \cdot 10^4 = 24,000$

$z = 2 \cdot 10^{-2} = 0.02$

$x = 1.3 \cdot 10^6 = 1,300,000$

$y + z - x = 24,000 + 0.02 - 1,300,000 = 24,000.02 - 1,300,000 = -1,275,999.98$.

Запишем результат в стандартном виде:

$-1,275,999.98 = -1.27599998 \cdot 10^6$.

Ответ: $-1,275,999.98$ (или $-1.27599998 \cdot 10^6$).

6) x · y : z.

Выполним действия последовательно: сначала умножение, затем деление.

$x \cdot y : z = \frac{x \cdot y}{z} = \frac{(1.3 \cdot 10^6) \cdot (2.4 \cdot 10^4)}{2 \cdot 10^{-2}}$.

Объединим мантиссы и степени:

$\frac{1.3 \cdot 2.4}{2} \cdot \frac{10^6 \cdot 10^4}{10^{-2}}$.

Вычислим для мантисс: $\frac{1.3 \cdot 2.4}{2} = 1.3 \cdot 1.2 = 1.56$.

Вычислим для степеней (при умножении показатели складываются, при делении вычитаются):

$10^{6+4-(-2)} = 10^{10+2} = 10^{12}$.

Результат: $1.56 \cdot 10^{12}$.

Ответ: $1.56 \cdot 10^{12}$.