Номер 18.6, страница 119 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.6. Какие из следующих функций возрастающие, а какие убывающие:

1) зависимость длины стороны квадрата от его площади;

2) зависимость времени, затраченного на выполнение работы, от производительности.

1) зависимость длины стороны квадрата от его площади

Обозначим длину стороны квадрата как $a$, а его площадь как $S$. Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$. В данной задаче требуется определить характер зависимости длины стороны $a$ от площади $S$. Для этого выразим $a$ через $S$. Из формулы площади получаем $a = \sqrt{S}$. Поскольку длина стороны $a$ и площадь $S$ не могут быть отрицательными, мы рассматриваем арифметический квадратный корень. Таким образом, мы имеем функцию $a(S) = \sqrt{S}$, где аргументом является площадь $S$, а значением функции — длина стороны $a$. Область определения этой функции $S \ge 0$. Функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей на всей своей области определения. Это означает, что если взять два значения площади $S_1$ и $S_2$ такие, что $S_1 < S_2$, то и соответствующие им значения длины стороны будут находиться в том же соотношении: $a(S_1) < a(S_2)$, то есть $\sqrt{S_1} < \sqrt{S_2}$. Например, если площадь увеличится с 4 до 9, то сторона увеличится с $\sqrt{4}=2$ до $\sqrt{9}=3$. Следовательно, с увеличением площади квадрата длина его стороны также увеличивается. Это означает, что данная функция является возрастающей.

Ответ: возрастающая.

2) зависимость времени, затраченного на выполнение работы, от производительности

Обозначим время, затраченное на выполнение работы, как $t$, производительность (скорость выполнения работы) как $p$, а общий объем работы как $A$. Эти величины связаны соотношением $A = p \cdot t$. Будем считать, что объем работы $A$ является фиксированной положительной величиной ($A > 0, A = \text{const}$). Нам нужно исследовать зависимость времени $t$ от производительности $p$. Выразим $t$ из формулы: $t = \frac{A}{p}$. Мы получили функцию $t(p) = \frac{A}{p}$. Это функция обратной пропорциональности, где аргументом является производительность $p$, а значением функции — время $t$. Область определения этой функции в контексте задачи $p > 0$. Чтобы определить, является ли функция возрастающей или убывающей, сравним значения времени для двух различных значений производительности. Пусть $p_1$ и $p_2$ — два значения производительности, причем $0 < p_1 < p_2$. Соответствующие им значения времени будут $t_1 = \frac{A}{p_1}$ и $t_2 = \frac{A}{p_2}$. Поскольку $p_1 < p_2$ и все величины положительны, то для их обратных величин будет справедливо неравенство $\frac{1}{p_1} > \frac{1}{p_2}$. Домножив обе части неравенства на положительное число $A$, получим $\frac{A}{p_1} > \frac{A}{p_2}$, что означает $t_1 > t_2$. Таким образом, большему значению производительности ($p_2$) соответствует меньшее значение времени ($t_2$). Это означает, что с ростом производительности время, необходимое для выполнения работы, уменьшается. Следовательно, данная функция является убывающей.

Ответ: убывающая.