Вопрос критерии успеха, страница 116 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Что такое функция, ее график? Как найти область определения и множество значений функции?

Что такое функция?

Функция (или функциональная зависимость) — это правило, по которому каждому элементу $x$ из некоторого множества $X$ (называемого областью определения) ставится в соответствие единственный элемент $y$ из множества $Y$ (называемого множеством значений).

Записывается это как $y = f(x)$, где:

- $x$ — независимая переменная, или аргумент.

- $y$ — зависимая переменная, или значение функции.

- $f$ — это само правило (закон) соответствия.

Простыми словами, функция — это как "машина", которая получает на вход число $x$, выполняет с ним определенные действия и выдает на выходе единственное число $y$. Например, для функции $y = x^2$, если на вход подать $x=3$, функция вернет $y=9$. Если подать $x=-2$, функция вернет $y=4$. Каждому значению $x$ соответствует строго одно значение $y$.

Ответ: Функция — это зависимость переменной $y$ от переменной $x$, при которой каждому значению $x$ соответствует единственное значение $y$.

Что такое график функции?

График функции $y = f(x)$ — это множество всех точек на координатной плоскости, абсциссы (координаты $x$) которых равны значениям аргумента, а ординаты (координаты $y$) — соответствующим значениям функции. То есть, это множество точек с координатами $(x, f(x))$ для всех $x$ из области определения функции.

Графики наглядно представляют поведение функции: как она возрастает или убывает, где достигает максимума или минимума.

Важное свойство: любая вертикальная прямая, проведенная на плоскости, пересекает график функции не более чем в одной точке. Это следует из определения функции, согласно которому одному значению $x$ не может соответствовать два или более разных значения $y$.

Ответ: График функции — это множество всех точек $(x, y)$ координатной плоскости, где $y = f(x)$, а $x$ "пробегает" всю область определения функции.

Как найти область определения функции?

Область определения функции, обозначаемая как $D(f)$ или $D(y)$, — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, для которых функция имеет смысл (т.е. для которых можно вычислить значение $y$).

Для нахождения области определения нужно выявить все значения $x$, которые приводят к "запрещенным" математическим операциям. Основные ограничения:

1. Деление на ноль. Если функция имеет вид $y = \frac{g(x)}{h(x)}$, то знаменатель не может быть равен нулю: $h(x) \neq 0$.

Пример: для $y = \frac{5}{x-3}$, нужно, чтобы $x-3 \neq 0$, то есть $x \neq 3$. Область определения: $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Корень четной степени. Выражение под корнем четной степени (квадратным, четвертой степени и т.д.) должно быть неотрицательным. Если $y = \sqrt[2n]{g(x)}$, то $g(x) \ge 0$.

Пример: для $y = \sqrt{x+4}$, нужно, чтобы $x+4 \ge 0$, то есть $x \ge -4$. Область определения: $D(y) = [-4; +\infty)$.

3. Логарифмическая функция. Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным. Если $y = \log_a(g(x))$, то $g(x) > 0$.

Пример: для $y = \lg(2x-10)$, нужно, чтобы $2x-10 > 0$, то есть $2x > 10$, $x > 5$. Область определения: $D(y) = (5; +\infty)$.

Если в функции встречается несколько ограничений, они должны выполняться одновременно.

Ответ: Чтобы найти область определения функции, нужно найти все значения $x$, для которых выражение $f(x)$ определено. Для этого необходимо исключить значения $x$, которые приводят к делению на ноль, извлечению корня четной степени из отрицательного числа или вычислению логарифма от неположительного числа.

Как найти множество значений функции?

Множество значений функции, обозначаемое как $E(f)$ или $E(y)$, — это множество всех значений, которые принимает зависимая переменная $y$, когда $x$ проходит всю область определения.

Способы нахождения множества значений:

1. Анализ свойств функции. Для многих стандартных функций множество значений известно. Например, для $y=x^2$ множество значений $E(y)=[0; +\infty)$; для $y=\sin(x)$ — $E(y)=[-1; 1]$. Преобразования графика (сдвиги, растяжения) изменяют множество значений. Например, для $y=x^2+3$ оно будет $E(y)=[3; +\infty)$.

2. Алгебраический метод (решение уравнения относительно $x$). Выражаем $x$ через $y$ из уравнения $y=f(x)$. Получаем некоторое выражение $x=g(y)$. Область определения для переменной $y$ в этом новом выражении и будет множеством значений исходной функции.

Пример: Найти множество значений для $y = \frac{1}{x-2}$.

Выразим $x$: $y(x-2)=1 \implies yx-2y=1 \implies yx=1+2y \implies x = \frac{1+2y}{y}$.

Это выражение для $x$ имеет смысл при всех $y$, кроме тех, что обращают знаменатель в ноль, то есть $y \neq 0$. Значит, множество значений исходной функции: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

3. Использование производной. Найти экстремумы (максимумы и минимумы) функции на ее области определения и значения на границах интервалов. Совокупность этих значений поможет определить все возможные значения $y$.

4. Графический метод. Если построен график функции, то ее множество значений — это проекция графика на ось ординат (ось $Oy$).

Ответ: Чтобы найти множество значений функции, нужно определить, какие значения может принимать $y$. Это можно сделать, проанализировав свойства функции и ее график, решив уравнение $y=f(x)$ относительно $x$ и найдя область допустимых значений для $y$, или используя методы математического анализа для поиска экстремумов.