Вопросы для закрепления, страница 118 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Может ли одна и та же величина быть зависимой величиной и независимой величиной? Приведите пример.

2. Может ли область определения функции стоимости от цены содержать отрицательное число; нуль; смешанное положительное число?

3. Может ли одна и та же функция быть одновременно возрастающей и убывающей на всей области определения?

1. Да, одна и та же величина может быть и зависимой, и независимой в зависимости от рассматриваемой функциональной зависимости. Роль величины определяется контекстом задачи.

Приведем пример. Рассмотрим квадрат со стороной a, периметром P и площадью S.

1. Если мы рассматриваем зависимость периметра от длины стороны, то формула будет P = 4a. В этом случае длина стороны a является независимой величиной (аргументом), а периметр P — зависимой величиной (функцией).

2. Если же мы, наоборот, хотим выразить длину стороны через известный периметр, формула будет a = P/4. Теперь периметр P является независимой величиной, а длина стороны a — зависимой.

Таким образом, величина "длина стороны квадрата" может выступать и в роли независимой, и в роли зависимой величины.

Ответ: Да, может. Например, длина стороны квадрата является независимой величиной при вычислении периметра, но зависимой при вычислении ее из известного периметра.

2. Область определения функции — это множество всех допустимых значений ее аргумента. В функции стоимости от цены, аргументом является цена. Рассмотрим каждый случай:

• Может ли цена содержать отрицательное число? Нет. В экономическом смысле цена — это положительная величина, показывающая, сколько денег нужно отдать за товар. Отрицательная цена означала бы, что покупателю доплачивают за то, что он забирает товар, что не соответствует понятию покупки. Поэтому область определения функции стоимости не может содержать отрицательные числа.

• Может ли цена содержать нуль? Да. Цена может быть равной нулю, если товар раздается бесплатно (например, в рамках рекламной акции). В этом случае стоимость покупки также будет равна нулю. Таким образом, нуль может входить в область определения.

• Может ли цена содержать смешанное положительное число? Да. Цены очень часто выражаются нецелыми числами, например, 54 рубля 50 копеек, что можно записать как 54,5 рубля или $54\frac{1}{2}$ рубля. Смешанное число — это просто одна из форм записи такого значения. Следовательно, область определения может содержать смешанные положительные числа.

Ответ: Область определения функции стоимости от цены не может содержать отрицательное число, но может содержать нуль и смешанное положительное число.

3. Да, такая функция существует, но только при определенном условии. Это константная функция.

По определению (нестрогому), функция f(x) является:

• возрастающей (точнее, неубывающей) на своей области определения, если для любых двух аргументов x₁ и x₂ из этой области, таких что x₁ < x₂, выполняется неравенство f(x₁) ≤ f(x₂).

• убывающей (точнее, невозрастающей) на своей области определения, если для любых двух аргументов x₁ и x₂ из этой области, таких что x₁ < x₂, выполняется неравенство f(x₁) ≥ f(x₂).

Для того чтобы функция была одновременно и возрастающей, и убывающей, необходимо, чтобы для любых x₁ < x₂ выполнялись оба неравенства: f(x₁) ≤ f(x₂) и f(x₁) ≥ f(x₂). Единственный способ удовлетворить обоим условиям одновременно — это равенство: f(x₁) = f(x₂).

Это означает, что для любых значений аргумента из области определения значение функции должно быть одним и тем же. Такая функция называется константной (или постоянной) и имеет вид y = C, где C — некоторое число (константа).

Если же под возрастающей и убывающей понимать строго возрастающую ($f(x_1) < f(x_2)$) и строго убывающую ($f(x_1) > f(x_2)$) функции, то ни одна функция не может быть такой одновременно, так как неравенства $f(x_1) < f(x_2)$ и $f(x_1) > f(x_2)$ являются взаимоисключающими.

Ответ: Да, может. Это любая постоянная функция вида $y=C$, где $C$ - константа.