Номер 22, страница 115 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

22. Из 19 детей 15 посещают кружок рукоделия. Численность детей, которые посещают кружки рукоделия и вокала, равна значению выражения $1.9a^5c^2 + 1.1a^5c^2 + 6$ при $a = -1$ и $c = 1$. Сколько детей ходит на кружок вокала?

A. 6;

B. 5;

C. 7;

D. 4.

Для решения задачи необходимо выполнить два шага. Сначала найдем количество детей, которые посещают оба кружка, а затем, используя эту информацию, определим общее количество детей в кружке вокала.

1. Нахождение численности детей, посещающих оба кружка.

По условию, это количество равно значению выражения $1,9a^5c^2 + 1,1a^5c^2 + 6$ при $a = -1$ и $c = 1$.

Сначала упростим выражение, сгруппировав подобные слагаемые:

$1,9a^5c^2 + 1,1a^5c^2 + 6 = (1,9 + 1,1)a^5c^2 + 6 = 3a^5c^2 + 6$.

Теперь подставим в упрощенное выражение значения $a = -1$ и $c = 1$:

$3 \cdot (-1)^5 \cdot 1^2 + 6$.

Так как $(-1)$ в нечетной степени (5) равно $-1$, а $1$ в любой степени равно $1$, получаем:

$3 \cdot (-1) \cdot 1 + 6 = -3 + 6 = 3$.

Таким образом, 3 ребенка посещают оба кружка.

2. Нахождение количества детей, которые ходят на кружок вокала.

Для этого воспользуемся формулой включений-исключений. Пусть $Р$ — множество детей, посещающих кружок рукоделия, а $В$ — множество детей, посещающих кружок вокала.

Нам известно:

- Общее количество детей, посещающих хотя бы один из кружков (объединение множеств): $|Р \cup В| = 19$.

- Количество детей в кружке рукоделия: $|Р| = 15$.

- Количество детей, посещающих оба кружка (пересечение множеств): $|Р \cap В| = 3$.

Формула включений-исключений: $|Р \cup В| = |Р| + |В| - |Р \cap В|$.

Мы ищем $|В|$ — количество детей в кружке вокала. Подставим известные значения в формулу:

$19 = 15 + |В| - 3$.

Упростим правую часть:

$19 = 12 + |В|$.

Отсюда найдем $|В|$:

$|В| = 19 - 12 = 7$.

Следовательно, 7 детей ходят на кружок вокала.

Ответ: 7.