Номер 15, страница 114 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15. Упростите выражение $81m^9n^8 : (24m^8n^5)$ и найдите его значение при $m = 32, n = -\frac{1}{3}$:

A. -12;

B. 12;

C. 4;

D. -4.

Задача состоит из двух частей: сначала необходимо упростить алгебраическое выражение, а затем найти его числовое значение при заданных значениях переменных.

1. Упрощение выражения

Исходное выражение: $81m^9n^8 : (24m^8n^5)$.

Представим операцию деления в виде дроби: $ \frac{81m^9n^8}{24m^8n^5} $

Теперь упростим выражение, разделив его на три части: числовые коэффициенты, степени переменной $m$ и степени переменной $n$.

Упростим числовые коэффициенты, сократив дробь $ \frac{81}{24} $ на их наибольший общий делитель, который равен 3: $ \frac{81}{24} = \frac{27 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{27}{8} $

Упростим степени переменной $m$, используя правило деления степеней с одинаковым основанием ($ \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y} $): $ \frac{m^9}{m^8} = m^{9-8} = m^1 = m $

Аналогично упростим степени переменной $n$: $ \frac{n^8}{n^5} = n^{8-5} = n^3 $

Соберем все упрощенные части вместе, чтобы получить окончательный вид выражения: $ \frac{27}{8}mn^3 $

2. Нахождение значения выражения

Теперь необходимо подставить заданные значения $ m = 32 $ и $ n = -\frac{1}{3} $ в упрощенное выражение $ \frac{27}{8}mn^3 $.

$ \frac{27}{8} \cdot (32) \cdot (-\frac{1}{3})^3 $

В первую очередь, возведем $n$ в куб: $ (-\frac{1}{3})^3 = (-\frac{1}{3}) \cdot (-\frac{1}{3}) \cdot (-\frac{1}{3}) = -\frac{1^3}{3^3} = -\frac{1}{27} $

Теперь подставим это значение обратно в выражение и произведем вычисления: $ \frac{27}{8} \cdot 32 \cdot (-\frac{1}{27}) $

Для удобства можно перегруппировать множители и выполнить сокращение: $ (\frac{27}{1} \cdot (-\frac{1}{27})) \cdot \frac{32}{8} $

Произведение $ 27 \cdot (-\frac{1}{27}) $ равно -1. Деление $ \frac{32}{8} $ равно 4.

$ -1 \cdot 4 = -4 $

Таким образом, значение выражения при заданных $m$ и $n$ равно -4, что соответствует варианту D.

Ответ: -4