Номер 12, страница 113 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12. Упростите выражение $\frac{(2m^5 n^4)^7 \cdot (4m^3 n^5)^2}{(2m^4 n^4)^{10}}$:

A. $\frac{2m}{n^2}$;

B. $\frac{m^2}{2n}$;

C. $\frac{m}{n^2}$;

D. $\frac{2m^2}{n}$.

Для упрощения данного выражения необходимо последовательно применить свойства степеней.

Исходное выражение:

$\frac{(2m^5 n^4)^7 \cdot (4m^3 n^5)^2}{(2m^4 n^4)^{10}}$

1. Упростим числитель дроби. Для этого сначала раскроем скобки в каждом из сомножителей, используя правило возведения произведения в степень $(ab)^n = a^n b^n$ и правило возведения степени в степень $(a^p)^q = a^{pq}$.

Первый множитель: $(2m^5 n^4)^7 = 2^7 \cdot (m^5)^7 \cdot (n^4)^7 = 2^7 m^{35} n^{28}$.

Второй множитель: $(4m^3 n^5)^2 = 4^2 \cdot (m^3)^2 \cdot (n^5)^2 = 16 m^6 n^{10}$. Поскольку $16 = 4^2 = (2^2)^2 = 2^4$, то выражение можно записать как $2^4 m^6 n^{10}$.

Теперь перемножим полученные выражения, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$:

$(2^7 m^{35} n^{28}) \cdot (2^4 m^6 n^{10}) = (2^7 \cdot 2^4) \cdot (m^{35} \cdot m^6) \cdot (n^{28} \cdot n^{10}) = 2^{7+4} m^{35+6} n^{28+10} = 2^{11} m^{41} n^{38}$.

2. Упростим знаменатель дроби, используя те же правила:

$(2m^4 n^4)^{10} = 2^{10} \cdot (m^4)^{10} \cdot (n^4)^{10} = 2^{10} m^{40} n^{40}$.

3. Выполним деление числителя на знаменатель, используя правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^p}{a^q} = a^{p-q}$:

$\frac{2^{11} m^{41} n^{38}}{2^{10} m^{40} n^{40}} = (\frac{2^{11}}{2^{10}}) \cdot (\frac{m^{41}}{m^{40}}) \cdot (\frac{n^{38}}{n^{40}}) = 2^{11-10} \cdot m^{41-40} \cdot n^{38-40} = 2^1 \cdot m^1 \cdot n^{-2} = 2mn^{-2}$.

Используя определение степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:

$2mn^{-2} = \frac{2m}{n^2}$.

Полученный результат совпадает с вариантом A.

Ответ: A. $\frac{2m}{n^2}$.