Номер 6, страница 113 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6. Найдите общий множитель выражения $8x^6y^3 - 12x^3y^3$:

A. $x^3y^3$;

B. $2x^3y^3$;

C. $2x^3 - 4$;

D. $4x^3y^3$.

Чтобы найти общий множитель выражения $8x^6y^3 - 12x^3y^3$, необходимо определить наибольший общий делитель (НОД) для его членов. Выражение состоит из двух одночленов: $8x^6y^3$ и $-12x^3y^3$. Поиск общего множителя производится пошагово для числовых коэффициентов и для каждой переменной.

Шаг 1: Нахождение наибольшего общего делителя числовых коэффициентов. Коэффициенты одночленов равны 8 и 12. Найдем их НОД. Разложим числа 8 и 12 на простые множители: $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$ $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$ Для нахождения НОД нужно взять общие простые множители в наименьшей степени, в которой они входят в оба числа. Общим множителем является 2. Наименьшая степень, в которой 2 входит в разложения, это 2 (в числе 12). Таким образом, $НОД(8, 12) = 2^2 = 4$.

Шаг 2: Нахождение общего множителя для переменных. Для переменной $x$ в одночленах присутствуют степени $x^6$ и $x^3$. Чтобы найти общий множитель, нужно выбрать переменную с наименьшим показателем степени. В данном случае это $x^3$. Для переменной $y$ в обоих одночленах присутствует степень $y^3$. Следовательно, общий множитель для переменной $y$ есть $y^3$.

Шаг 3: Формирование общего множителя выражения. Общий множитель всего выражения получается путем перемножения НОД коэффициентов и общих множителей для каждой переменной. Общий множитель = $4 \cdot x^3 \cdot y^3 = 4x^3y^3$.

Для проверки правильности можно вынести найденный общий множитель за скобки из исходного выражения: $8x^6y^3 - 12x^3y^3 = 4x^3y^3 \cdot (2x^3) - 4x^3y^3 \cdot (3) = 4x^3y^3(2x^3 - 3)$. Поскольку каждый член в скобках является целочисленным выражением, $4x^3y^3$ является общим множителем. Так как мы использовали НОД, это наибольший общий множитель.

Сравнивая полученный результат $4x^3y^3$ с вариантами ответов, мы видим, что он соответствует варианту D.

Ответ: D. $4x^3y^3$.