Номер 2, страница 113 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2. Упростите выражение $(2ab^5)^4 \cdot (5a^7b^2)^2$:

A. $80a^{13}b^{24}$;

B. $400a^{18}b^{24}$;

C. $250a^{18}b^{13}$;

D. $400a^{13}b^{24}$.

Для упрощения выражения $(2ab^5)^4 \cdot (5a^7b^2)^2$ мы будем использовать свойства степеней.

1. Возведение в степень произведения: $(xyz)^n = x^n y^n z^n$.

2. Возведение степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

3. Умножение степеней с одинаковым основанием: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

Шаг 1: Упростим первый множитель $(2ab^5)^4$.

Применяя правило возведения в степень произведения, мы возводим в 4-ю степень каждый множитель в скобках:

$(2ab^5)^4 = 2^4 \cdot a^4 \cdot (b^5)^4$

Теперь вычислим значения:

$2^4 = 16$

Для $(b^5)^4$ применяем правило возведения степени в степень:

$(b^5)^4 = b^{5 \cdot 4} = b^{20}$

Таким образом, первый множитель равен: $16a^4b^{20}$.

Шаг 2: Упростим второй множитель $(5a^7b^2)^2$.

Аналогично первому шагу, возводим в квадрат каждый множитель в скобках:

$(5a^7b^2)^2 = 5^2 \cdot (a^7)^2 \cdot (b^2)^2$

Вычисляем значения:

$5^2 = 25$

$(a^7)^2 = a^{7 \cdot 2} = a^{14}$

$(b^2)^2 = b^{2 \cdot 2} = b^4$

Таким образом, второй множитель равен: $25a^{14}b^4$.

Шаг 3: Перемножим полученные выражения.

Теперь нужно умножить результаты первого и второго шагов:

$(16a^4b^{20}) \cdot (25a^{14}b^4)$

Сгруппируем числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:

$(16 \cdot 25) \cdot (a^4 \cdot a^{14}) \cdot (b^{20} \cdot b^4)$

Выполняем вычисления для каждой группы:

Коэффициенты: $16 \cdot 25 = 400$

Степени с основанием $a$: $a^4 \cdot a^{14} = a^{4+14} = a^{18}$

Степени с основанием $b$: $b^{20} \cdot b^4 = b^{20+4} = b^{24}$

Шаг 4: Запишем итоговый результат.

Объединяем все части вместе:

$400a^{18}b^{24}$

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту B.

Ответ: B. $400a^{18}b^{24}$