Номер 17.13, страница 112 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.13. Найдите корень уравнения:

1) $(x^4 - 3)(x + 5) = 29 - 2x + x^4(x + 5)$;

2) $(10 - x^6)(7 + x) = 11x - 63 - x^6(x + 7)$;

3) $(2 + x)x^5 - 15x + 41 = (x^5 - 13)(2 + x)$;

4) $99 - 23x + x^8(x - 9) = -(17 - x^8)(x - 9)$.

1) $(x^4 - 3)(x + 5) = 29 - 2x + x^4(x + 5)$

Данное уравнение кажется сложным из-за наличия $x^4$, но можно заметить одинаковый член $x^4(x + 5)$ в обеих частях. Перенесем его из правой части в левую с противоположным знаком:

$(x^4 - 3)(x + 5) - x^4(x + 5) = 29 - 2x$

Теперь в левой части можно вынести за скобки общий множитель $(x + 5)$:

$(x + 5) \cdot ((x^4 - 3) - x^4) = 29 - 2x$

Упростим выражение во вторых скобках:

$x^4 - 3 - x^4 = -3$

Подставим результат в уравнение:

$(x + 5) \cdot (-3) = 29 - 2x$

Раскроем скобки в левой части:

$-3x - 15 = 29 - 2x$

Теперь соберем все слагаемые с переменной $x$ в левой части, а числовые значения — в правой:

$-3x + 2x = 29 + 15$

$-x = 44$

Умножим обе части на $-1$, чтобы найти $x$:

$x = -44$

Ответ: $-44$.

2) $(10 - x^6)(7 + x) = 11x - 63 - x^6(x + 7)$

Заметим, что $(7 + x)$ и $(x + 7)$ — это одно и то же. Перенесем слагаемое $-x^6(x + 7)$ из правой части в левую, изменив знак на противоположный:

$(10 - x^6)(x + 7) + x^6(x + 7) = 11x - 63$

Вынесем общий множитель $(x + 7)$ за скобки в левой части:

$(x + 7) \cdot ((10 - x^6) + x^6) = 11x - 63$

Упростим выражение во вторых скобках:

$10 - x^6 + x^6 = 10$

Уравнение принимает вид:

$(x + 7) \cdot 10 = 11x - 63$

Раскроем скобки:

$10x + 70 = 11x - 63$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числа — в левую:

$70 + 63 = 11x - 10x$

$133 = x$

Ответ: $133$.

3) $(2 + x)x^5 - 15x + 41 = (x^5 - 13)(2 + x)$

Раскроем скобки в правой части уравнения, используя распределительный закон:

$(x^5 - 13)(2 + x) = x^5(2 + x) - 13(2 + x)$

Теперь исходное уравнение выглядит так:

$(2 + x)x^5 - 15x + 41 = x^5(2 + x) - 13(2 + x)$

Слагаемое $(2 + x)x^5$ присутствует в обеих частях уравнения, поэтому мы можем его сократить (или вычесть из обеих частей):

$-15x + 41 = -13(2 + x)$

Раскроем скобки в правой части:

$-15x + 41 = -26 - 13x$

Сгруппируем слагаемые: переменные в правой части, числа в левой:

$41 + 26 = -13x + 15x$

$67 = 2x$

Найдем $x$:

$x = \frac{67}{2} = 33,5$

Ответ: $33,5$.

4) $99 - 23x + x^8(x - 9) = -(17 - x^8)(x - 9)$

Преобразуем правую часть уравнения. Внесем минус в первые скобки:

$-(17 - x^8)(x - 9) = (-17 + x^8)(x - 9) = (x^8 - 17)(x - 9)$

Теперь уравнение выглядит так:

$99 - 23x + x^8(x - 9) = (x^8 - 17)(x - 9)$

Раскроем скобки в правой части:

$99 - 23x + x^8(x - 9) = x^8(x - 9) - 17(x - 9)$

Слагаемое $x^8(x - 9)$ есть в обеих частях, сократим его:

$99 - 23x = -17(x - 9)$

Раскроем скобки в правой части:

$99 - 23x = -17x + 153$

Перенесем слагаемые с $x$ вправо, а числа влево:

$99 - 153 = -17x + 23x$

$-54 = 6x$

Разделим обе части на 6, чтобы найти $x$:

$x = \frac{-54}{6} = -9$

Ответ: $-9$.