Номер 17.15, страница 112 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.15. Найдите наименьшее целое число, при котором верно неравенство:

1) $(x^2 - 3x + 5)(x+3) \le x^3+ 7x - 1;$

2) $(y^2 - y + 8)(4 - y) - 2.4 \le 5y^2 - y^3 - 6y;$

3) $z^3 + 2.8z - 2.2 > (9 - z - z^2)(1.2 - z) + 0.2z^2 + 11.5;$

4) $-2.2x - 7.15 - 0.5x^2 < (1.7 + x + x^2)(0.5 - x) + x^3.$

1) Сначала раскроем скобки в левой части неравенства, умножив многочлены: $(x^2 - 3x + 5)(x + 3) = x^2(x+3) - 3x(x+3) + 5(x+3) = x^3 + 3x^2 - 3x^2 - 9x + 5x + 15 = x^3 - 4x + 15$. Теперь подставим полученное выражение в исходное неравенство: $x^3 - 4x + 15 \le x^3 + 7x - 1$. Сократим $x^3$ в обеих частях. Затем перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числовые слагаемые в левую: $15 + 1 \le 7x + 4x$. $16 \le 11x$. Разделим обе части на 11: $x \ge \frac{16}{11}$. Поскольку $\frac{16}{11} = 1\frac{5}{11} \approx 1,45$, нам нужно найти наименьшее целое число, которое больше или равно $1,45$. Это число 2. Ответ: 2

2) Раскроем скобки в левой части неравенства: $(y^2 - y + 8)(4 - y) = 4y^2 - y^3 - 4y + y^2 + 32 - 8y = -y^3 + 5y^2 - 12y + 32$. Подставим это в исходное неравенство: $(-y^3 + 5y^2 - 12y + 32) - 2,4 \le 5y^2 - y^3 - 6y$. Упростим левую часть: $-y^3 + 5y^2 - 12y + 29,6 \le 5y^2 - y^3 - 6y$. В обеих частях неравенства есть слагаемые $-y^3$ и $5y^2$, которые взаимно уничтожаются: $-12y + 29,6 \le -6y$. Перенесем слагаемые с $y$ в правую часть: $29,6 \le 12y - 6y$. $29,6 \le 6y$. Разделим обе части на 6: $y \ge \frac{29,6}{6}$. Поскольку $\frac{29,6}{6} = \frac{296}{60} = \frac{74}{15} = 4\frac{14}{15} \approx 4,93$, наименьшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству, равно 5. Ответ: 5

3) Раскроем скобки в правой части неравенства: $(9 - z - z^2)(1,2 - z) = 9(1,2 - z) - z(1,2 - z) - z^2(1,2 - z) = 10,8 - 9z - 1,2z + z^2 - 1,2z^2 + z^3 = z^3 - 0,2z^2 - 10,2z + 10,8$. Подставим это в исходное неравенство: $z^3 + 2,8z - 2,2 > (z^3 - 0,2z^2 - 10,2z + 10,8) + 0,2z^2 + 11,5$. Упростим правую часть, сложив подобные слагаемые: $z^3 + 2,8z - 2,2 > z^3 - 10,2z + 22,3$. Сократим $z^3$ в обеих частях. Перенесем слагаемые с $z$ в левую часть, а числовые слагаемые в правую: $2,8z + 10,2z > 22,3 + 2,2$. $13z > 24,5$. Разделим обе части на 13: $z > \frac{24,5}{13}$. Поскольку $\frac{24,5}{13} = \frac{245}{130} = \frac{49}{26} = 1\frac{23}{26} \approx 1,88$, наименьшее целое число, удовлетворяющее этому условию, это 2. Ответ: 2

4) Раскроем скобки в правой части неравенства: $(1,7 + x + x^2)(0,5 - x) = 1,7(0,5 - x) + x(0,5 - x) + x^2(0,5 - x) = 0,85 - 1,7x + 0,5x - x^2 + 0,5x^2 - x^3 = -x^3 - 0,5x^2 - 1,2x + 0,85$. Подставим полученное выражение в исходное неравенство: $-2,2x - 7,15 - 0,5x^2 < (-x^3 - 0,5x^2 - 1,2x + 0,85) + x^3$. Упростим правую часть: $-2,2x - 7,15 - 0,5x^2 < -0,5x^2 - 1,2x + 0,85$. Слагаемое $-0,5x^2$ есть в обеих частях, поэтому оно сокращается: $-2,2x - 7,15 < -1,2x + 0,85$. Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числовые слагаемые в левую: $-7,15 - 0,85 < -1,2x + 2,2x$. $-8 < x$. Неравенство можно записать как $x > -8$. Наименьшее целое число, которое больше -8, это -7. Ответ: -7