Номер 17.14, страница 112 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.14. Решите неравенство:

1) $(x^3 - 2)(x + 1) \le x^4 + x^3 - 23;$

2) $-x^8 + 49 \le (10 - x^7)(5 + x) + 5x^7;$

3) $(x^2 - 4x + 8) \cdot 5 < 2x(2,5x - 1);$

4) $3x(1,1x + 2) > 0,1x(33x + 10) - 6.$

1) Решим неравенство $(x^3 - 2)(x + 1) \le x^4 + x^3 - 23$.

Сначала раскроем скобки в левой части:

$(x^3 - 2)(x + 1) = x^3 \cdot x + x^3 \cdot 1 - 2 \cdot x - 2 \cdot 1 = x^4 + x^3 - 2x - 2$.

Теперь подставим это выражение обратно в неравенство:

$x^4 + x^3 - 2x - 2 \le x^4 + x^3 - 23$.

Перенесем все члены с $x$ в левую часть, а постоянные члены - в правую. Заметим, что $x^4$ и $x^3$ присутствуют в обеих частях и взаимно уничтожаются при переносе.

$x^4 - x^4 + x^3 - x^3 - 2x \le -23 + 2$.

$-2x \le -21$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части на -2. Важно помнить, что при делении неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный.

$x \ge \frac{-21}{-2}$.

$x \ge 10,5$.

Решение можно записать в виде числового промежутка.

Ответ: $x \in [10,5; +\infty)$.

2) Решим неравенство $-x^8 + 49 \le (10 - x^7)(5 + x) + 5x^7$.

Раскроем скобки в правой части выражения:

$(10 - x^7)(5 + x) = 10 \cdot 5 + 10 \cdot x - x^7 \cdot 5 - x^7 \cdot x = 50 + 10x - 5x^7 - x^8$.

Подставим результат в исходное неравенство:

$-x^8 + 49 \le (50 + 10x - 5x^7 - x^8) + 5x^7$.

Упростим правую часть, сгруппировав подобные слагаемые. Члены $-5x^7$ и $+5x^7$ взаимно уничтожаются.

$-x^8 + 49 \le 50 + 10x - x^8$.

Член $-x^8$ присутствует в обеих частях неравенства и также взаимно уничтожается.

$49 \le 50 + 10x$.

Перенесем 50 в левую часть, изменив знак:

$49 - 50 \le 10x$.

$-1 \le 10x$.

Разделим обе части на 10. Так как 10 - положительное число, знак неравенства не меняется.

$\frac{-1}{10} \le x$, или $x \ge -0,1$.

Решение в виде числового промежутка.

Ответ: $x \in [-0,1; +\infty)$.

3) Решим неравенство $(x^2 - 4x + 8) \cdot 5 < 2x(2,5x - 1)$.

Раскроем скобки в обеих частях неравенства.

Левая часть: $5(x^2 - 4x + 8) = 5x^2 - 20x + 40$.

Правая часть: $2x(2,5x - 1) = 5x^2 - 2x$.

Получаем неравенство:

$5x^2 - 20x + 40 < 5x^2 - 2x$.

Член $5x^2$ есть в обеих частях, поэтому он сокращается.

$-20x + 40 < -2x$.

Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а числа - в другую. Перенесем $-20x$ вправо.

$40 < -2x + 20x$.

$40 < 18x$.

Разделим обе части на 18 (знак не меняется).

$\frac{40}{18} < x$.

Сократим дробь $\frac{40}{18}$ на 2:

$x > \frac{20}{9}$.

Решение в виде числового промежутка.

Ответ: $x \in (\frac{20}{9}; +\infty)$.

4) Решим неравенство $3x(1,1x + 2) > 0,1x(33x + 10) - 6$.

Раскроем скобки в обеих частях.

Левая часть: $3x(1,1x + 2) = 3,3x^2 + 6x$.

Правая часть: $0,1x(33x + 10) - 6 = 3,3x^2 + x - 6$.

Неравенство принимает вид:

$3,3x^2 + 6x > 3,3x^2 + x - 6$.

Член $3,3x^2$ сокращается в обеих частях.

$6x > x - 6$.

Перенесем $x$ из правой части в левую.

$6x - x > -6$.

$5x > -6$.

Разделим обе части на 5 (знак не меняется).

$x > -\frac{6}{5}$.

$x > -1,2$.

Решение в виде числового промежутка.

Ответ: $x \in (-1,2; +\infty)$.