Номер 17.11, страница 111 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.11. Докажите тождество:

1) $(x^2 - 8x + 7)(x+5) + 3x(x+11) = x^3 + 35;$

2) $(y + 9)(10 - 3y + y^2) - 0.5y(12y - 34) = 90 + y^3;$

3) $(2a^2-a +11)(8a-3)+7a(-13+2a) = -33 + 16a^3;$

4) $(13x + 6)(4x^2-x-9) - 5x(2.2x - 24.6) = -54 + 52x^3.$

1) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть. Сначала раскроем скобки.

$(x^2 - 8x + 7)(x + 5) + 3x(x + 11) = (x^2 \cdot x + x^2 \cdot 5 - 8x \cdot x - 8x \cdot 5 + 7 \cdot x + 7 \cdot 5) + (3x \cdot x + 3x \cdot 11) = (x^3 + 5x^2 - 8x^2 - 40x + 7x + 35) + (3x^2 + 33x)$

Теперь приведем подобные слагаемые в первой группе скобок:

$x^3 + (5x^2 - 8x^2) + (-40x + 7x) + 35 = x^3 - 3x^2 - 33x + 35$

Теперь сложим полученное выражение с второй группой:

$(x^3 - 3x^2 - 33x + 35) + (3x^2 + 33x) = x^3 - 3x^2 + 3x^2 - 33x + 33x + 35$

Снова приведем подобные слагаемые:

$x^3 + (-3x^2 + 3x^2) + (-33x + 33x) + 35 = x^3 + 0 + 0 + 35 = x^3 + 35$

Левая часть равна правой: $x^3 + 35 = x^3 + 35$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Преобразуем левую часть тождества. Раскроем скобки.

$(y + 9)(10 - 3y + y^2) - 0,5y(12y - 34) = (y \cdot 10 + y \cdot (-3y) + y \cdot y^2 + 9 \cdot 10 + 9 \cdot (-3y) + 9 \cdot y^2) - (0,5y \cdot 12y - 0,5y \cdot 34) = (10y - 3y^2 + y^3 + 90 - 27y + 9y^2) - (6y^2 - 17y)$

Приведем подобные слагаемые в первой группе скобок, расположив их по убыванию степеней:

$y^3 + (-3y^2 + 9y^2) + (10y - 27y) + 90 = y^3 + 6y^2 - 17y + 90$

Теперь раскроем вторые скобки и приведем подобные слагаемые:

$y^3 + 6y^2 - 17y + 90 - 6y^2 + 17y = y^3 + (6y^2 - 6y^2) + (-17y + 17y) + 90 = y^3 + 0 + 0 + 90 = y^3 + 90$

Левая часть равна правой: $90 + y^3 = 90 + y^3$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) Преобразуем левую часть тождества. Раскроем скобки.

$(2a^2 - a + 11)(8a - 3) + 7a(-13 + 2a) = (2a^2 \cdot 8a + 2a^2 \cdot (-3) - a \cdot 8a - a \cdot (-3) + 11 \cdot 8a + 11 \cdot (-3)) + (7a \cdot (-13) + 7a \cdot 2a) = (16a^3 - 6a^2 - 8a^2 + 3a + 88a - 33) + (-91a + 14a^2)$

Приведем подобные слагаемые в первой группе скобок:

$16a^3 + (-6a^2 - 8a^2) + (3a + 88a) - 33 = 16a^3 - 14a^2 + 91a - 33$

Сложим полученное выражение со второй группой и приведем подобные слагаемые:

$16a^3 - 14a^2 + 91a - 33 - 91a + 14a^2 = 16a^3 + (-14a^2 + 14a^2) + (91a - 91a) - 33 = 16a^3 + 0 + 0 - 33 = 16a^3 - 33$

Левая часть равна правой: $-33 + 16a^3 = -33 + 16a^3$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4) Преобразуем левую часть тождества. Раскроем скобки.

$(13x + 6)(4x^2 - x - 9) - 5x(2,2x - 24,6) = (13x \cdot 4x^2 + 13x \cdot (-x) + 13x \cdot (-9) + 6 \cdot 4x^2 + 6 \cdot (-x) + 6 \cdot (-9)) - (5x \cdot 2,2x - 5x \cdot 24,6) = (52x^3 - 13x^2 - 117x + 24x^2 - 6x - 54) - (11x^2 - 123x)$

Приведем подобные слагаемые в первой группе скобок:

$52x^3 + (-13x^2 + 24x^2) + (-117x - 6x) - 54 = 52x^3 + 11x^2 - 123x - 54$

Раскроем вторые скобки и приведем подобные слагаемые:

$52x^3 + 11x^2 - 123x - 54 - 11x^2 + 123x = 52x^3 + (11x^2 - 11x^2) + (-123x + 123x) - 54 = 52x^3 + 0 + 0 - 54 = 52x^3 - 54$

Левая часть равна правой: $-54 + 52x^3 = -54 + 52x^3$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.