Номер 4, страница 113 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4. Выполните деление $(24m^5n^3)^2 : (12m^3n)^3$:

A. $\frac{1}{3} m^2 n^2$;

B. $3mn^2$;

C. $3m^2 n^3$;

D. $\frac{1}{3} mn^3$.

Чтобы выполнить деление $(24m^5n^3)^2 : (12m^3n)^3$, необходимо сначала упростить каждый из одночленов, возведя их в соответствующую степень.

Для этого воспользуемся свойствами степеней:

1. Возведение произведения в степень: $(abc)^n = a^n b^n c^n$.

2. Возведение степени в степень: $(a^k)^n = a^{k \cdot n}$.

1. Упростим делимое $(24m^5n^3)^2$

Применяя указанные правила, получаем:

$(24m^5n^3)^2 = 24^2 \cdot (m^5)^2 \cdot (n^3)^2 = 576 \cdot m^{5 \cdot 2} \cdot n^{3 \cdot 2} = 576m^{10}n^6$.

2. Упростим делитель $(12m^3n)^3$

Аналогично, упрощаем второй одночлен:

$(12m^3n)^3 = 12^3 \cdot (m^3)^3 \cdot n^3 = 1728 \cdot m^{3 \cdot 3} \cdot n^3 = 1728m^9n^3$.

3. Выполним деление полученных выражений

Теперь разделим результат из шага 1 на результат из шага 2. Деление можно представить в виде дроби:

$$ \frac{576m^{10}n^6}{1728m^9n^3} $$

Для упрощения дроби разделим отдельно числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями. Для деления степеней используем правило $\frac{a^k}{a^n} = a^{k-n}$.

Деление коэффициентов: $\frac{576}{1728}$. Можно заметить, что $1728 = 3 \cdot 576$, поэтому $\frac{576}{1728} = \frac{1}{3}$.

Деление степеней переменной $m$: $\frac{m^{10}}{m^9} = m^{10-9} = m^1 = m$.

Деление степеней переменной $n$: $\frac{n^6}{n^3} = n^{6-3} = n^3$.

4. Запишем итоговый результат

Соберем все части вместе:

$$ \frac{1}{3} \cdot m \cdot n^3 = \frac{1}{3}mn^3 $$

Этот результат соответствует варианту D.

Ответ: $\frac{1}{3}mn^3$