Проанализируй и ответь, страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Можно ли по таблице, которая задает некоторую функцию, узнать, является ли эта функция возрастающей или убывающей?

Да, по таблице можно сделать вывод о возрастании или убывании функции, но с важной оговоркой. Анализ таблицы позволяет судить о поведении функции только в тех точках, которые в этой таблице представлены. Мы можем сделать обоснованное предположение о монотонности функции на всей области определения, но для строгого доказательства этого недостаточно.

Как определить, является ли функция возрастающей по таблице

Функция, заданная таблицей, будет возрастающей на данном наборе точек, если для любых двух пар значений $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ из таблицы, где $y = f(x)$, из условия $x_2 > x_1$ следует, что $y_2 > y_1$. Проще говоря, при увеличении значения аргумента (x) соответствующее значение функции (y) также увеличивается.

Пример:

Здесь мы видим, что при увеличении $x$ ($-2 < 0 < 1 < 3$) значения $y$ также последовательно увеличиваются ($-5 < -1 < 1 < 5$). На основании этих данных можно предположить, что функция является возрастающей.

Ответ: Нужно проверить, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$.

Как определить, является ли функция убывающей по таблице

Функция, заданная таблицей, будет убывающей на данном наборе точек, если для любых двух пар значений $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ из таблицы из условия $x_2 > x_1$ следует, что $y_2 < y_1$. То есть, при увеличении значения аргумента (x) соответствующее значение функции (y) уменьшается.

Пример:

Здесь при увеличении $x$ ($-1 < 0 < 2 < 5$) значения $y$ последовательно уменьшаются ($10 > 8 > 4 > -2$). На основании этих данных можно предположить, что функция является убывающей.

Ответ: Нужно проверить, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$.

Важное ограничение

Главная проблема заключается в том, что таблица содержит данные лишь о дискретном наборе точек. Мы ничего не знаем о поведении функции между этими точками. Функция может казаться возрастающей по табличным данным, но на самом деле иметь участки убывания между ними.

Например, рассмотрим точки $A(1, 1)$ и $B(3, 3)$. По этим двум точкам кажется, что функция возрастает. Но реальная функция может вести себя как-то так:

Таким образом, чтобы утверждать, что функция возрастает или убывает на всем промежутке, а не только в заданных точках, нужно иметь дополнительную информацию, например, что функция является линейной ($y=kx+b$) или что она в принципе монотонна.

Ответ: Нельзя сделать однозначный и стопроцентно верный вывод о поведении функции на всей ее области определения, так как ее поведение между точками, указанными в таблице, неизвестно.