Номер 21.8, страница 134 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

21.8. По графику функции, изображенному на рисунке 21.13, найдите:

1) область определения функции;

2) значение аргумента, при котором значение функции равно нулю;

3) числовые промежутки, на которых функция:

а) возрастает;

б) убывает.

Рис. 21.13

A)

1) область определения функции

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция определена. Глядя на график, мы видим, что он существует для всех положительных значений $x$. При $x \to 0^+$, функция уходит в $+\infty$, ось $Oy$ является вертикальной асимптотой. Таким образом, область определения — это все числа, большие нуля.

Ответ: $(0; +\infty)$.

2) значение аргумента, при котором значение функции равно нулю

Значение функции равно нулю там, где её график пересекает ось абсцисс ($Ox$). На данном графике функция всегда положительна ($y > 0$) и не пересекает ось $Ox$.

Ответ: таких значений нет.

3) числовые промежутки, на которых функция: а) возрастает; б) убывает.

а) возрастает:

Функция возрастает на промежутке, если при увеличении аргумента $x$ значение функции $y$ также увеличивается. На данном графике при движении вправо (увеличении $x$) кривая всегда идет вниз (значение $y$ уменьшается).

Ответ: таких промежутков нет.

б) убывает:

Функция убывает, если при увеличении $x$ значение $y$ уменьшается. Это происходит на всей области определения функции.

Ответ: $(0; +\infty)$.

B)

1) область определения функции

График существует для всех значений $x$, кроме $x=0$. В точке $x=0$ (ось $Oy$) график имеет разрыв, и ось $Oy$ является вертикальной асимптотой. Область определения - это объединение двух интервалов.

Ответ: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2) значение аргумента, при котором значение функции равно нулю

График функции полностью расположен под осью абсцисс ($Ox$), то есть $y < 0$ для всех $x$ из области определения. График не пересекает ось $Ox$.

Ответ: таких значений нет.

3) числовые промежутки, на которых функция: а) возрастает; б) убывает.

а) возрастает:

На промежутке $(-\infty; 0)$ при увеличении $x$ (движении вправо) график идет вверх (значение $y$ увеличивается, становясь менее отрицательным).

Ответ: $(-\infty; 0)$.

б) убывает:

На промежутке $(0; +\infty)$ при увеличении $x$ (движении вправо) график идет вниз (значение $y$ уменьшается, становясь более отрицательным).

Ответ: $(0; +\infty)$.

C)

1) область определения функции

Функция определена на тех значениях $x$, где нарисован график. Это объединение нескольких отрезков по оси $x$: от -7 до -3, от -2 до 3, и от 4 до 8.

Ответ: $[-7; -3] \cup [-2; 3] \cup [4; 8]$.

2) значение аргумента, при котором значение функции равно нулю

Нам нужно найти точки, в которых график пересекает или касается оси $Ox$ (то есть, где $y=0$). Из графика видно, что это происходит в точках $x=-7$ и $x=-2$. Также график пересекает ось $Ox$ на отрезке от $x=6$ до $x=8$. Этот участок является прямой, проходящей через точки $(6; 1)$ и $(8; -1)$. Уравнение этой прямой: $y - 1 = \frac{-1-1}{8-6}(x-6)$, что упрощается до $y = -x + 7$. При $y=0$ получаем $0 = -x + 7$, откуда $x=7$.

Ответ: $x = -7$, $x = -2$, $x = 7$.

3) числовые промежутки, на которых функция: а) возрастает; б) убывает.

а) возрастает:

Функция возрастает там, где её график идет вверх при движении слева направо. Это происходит на промежутках от -7 до -3 и от -2 до 3.

Ответ: $[-7; -3]$ и $[-2; 3]$.

б) убывает:

Функция убывает там, где её график идет вниз при движении слева направо. Это происходит на промежутке от 6 до 8. На промежутке $[4; 6]$ функция постоянна, а не убывает и не возрастает.

Ответ: $[6; 8]$.