Вопросы для закрепления, страница 138 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Какая функция называется линейной функцией?

2. Приведите примеры линейных функций.

3. Какая линия является графиком линейной функции?

4. Может ли графиком линейной функции быть прямая: 1) параллельная оси абсцисс; 2) параллельная оси ординат?

5. Как найти точки пересечения графика линейной функции с осями ко-ординат?

1. Какая функция называется линейной функцией?

Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная (аргумент), а $k$ и $b$ — некоторые числа (коэффициенты). Число $k$ называется угловым коэффициентом, он отвечает за угол наклона графика функции к оси абсцисс. Число $b$ называется свободным членом, оно показывает точку пересечения графика с осью ординат.

Ответ: Функция вида $y = kx + b$, где $x$ — переменная, $k$ и $b$ — числа.

2. Приведите примеры линейных функций.

Примеров линейных функций можно привести множество, варьируя коэффициенты $k$ и $b$.

• $y = 2x + 3$. Здесь угловой коэффициент $k=2$, свободный член $b=3$.
• $y = -0.5x + 1$. Здесь $k=-0.5$, $b=1$.
• $y = 5x$. Это частный случай, называемый прямой пропорциональностью. Здесь $k=5$, а $b=0$. График такой функции всегда проходит через начало координат.
• $y = -4$. Это также частный случай, когда $k=0$. Графиком является прямая, параллельная оси абсцисс.

3. Какая линия является графиком линейной функции?

Графиком любой линейной функции $y = kx + b$ в декартовой системе координат является прямая линия. Для построения этой прямой достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих графику, и провести через них прямую.

Ответ: Прямая линия.

4. Может ли графиком линейной функции быть прямая: 1) параллельная оси абсцисс; 2) параллельная оси ординат?

1) Параллельная оси абсцисс (оси Ox): Да, может. Прямая параллельна оси абсцисс, если ее угловой коэффициент $k$ равен нулю. В этом случае уравнение $y = kx + b$ принимает вид $y = 0 \cdot x + b$, то есть $y = b$. Это уравнение задает горизонтальную прямую, все точки которой имеют ординату, равную $b$.

2) Параллельная оси ординат (оси Oy): Нет, не может. Прямая, параллельная оси ординат, задается уравнением вида $x = c$, где $c$ — некоторое число. В этом уравнении одному значению $x$ (а именно $c$) соответствует бесконечное множество значений $y$. Это противоречит определению функции, согласно которому каждому значению аргумента ($x$) должно соответствовать единственное значение функции ($y$). Следовательно, вертикальная прямая не является графиком функции вообще и, в частности, не может быть графиком линейной функции.

Ответ: 1) да, может (при $k=0$); 2) нет, не может.

5. Как найти точки пересечения графика линейной функции с осями координат?

Для нахождения точек пересечения графика функции $y = kx + b$ с осями координат необходимо использовать свойство этих осей:

• Пересечение с осью ординат (осью Oy): Все точки на оси ординат имеют абсциссу (координату $x$), равную нулю. Чтобы найти точку пересечения, нужно подставить $x=0$ в уравнение функции: $y = k \cdot 0 + b$, откуда $y = b$. Таким образом, точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0, b)$.
• Пересечение с осью абсцисс (осью Ox): Все точки на оси абсцисс имеют ординату (координату $y$), равную нулю. Чтобы найти точку пересечения, нужно подставить $y=0$ в уравнение функции: $0 = kx + b$. Решая это уравнение относительно $x$, получаем $kx = -b$, откуда $x = -b/k$. Это возможно только если $k \neq 0$. Таким образом, точка пересечения с осью Ox имеет координаты $(-b/k, 0)$. Если $k=0$ и $b \neq 0$, то график параллелен оси Ox и не пересекает ее. Если $k=0$ и $b=0$, то график совпадает с осью Ox.