Вопрос критерии успеха, страница 135 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Как построить график функции $y = kx + b$? Как его расположение зависит от $\text{k}$ и $\text{b}$?

Как построить график функции y = kx + b?

Функция вида $y = kx + b$ называется линейной, а её графиком является прямая линия. Согласно аксиоме геометрии, для построения прямой на плоскости достаточно знать координаты двух любых её точек.

Таким образом, алгоритм построения графика следующий:

1. Выбрать два произвольных, но разных, значения аргумента $x$ (например, $x_1$ и $x_2$).
2. Подставить эти значения в уравнение функции и вычислить соответствующие значения $y$:

   $y_1 = kx_1 + b$

   $y_2 = kx_2 + b$

3. В результате мы получим координаты двух точек: $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$.
4. Отметить эти две точки на координатной плоскости (в системе координат $xOy$).
5. Провести через эти точки прямую с помощью линейки. Эта прямая и будет являться графиком функции $y = kx + b$.

Для упрощения вычислений часто выбирают точки пересечения прямой с осями координат:

• Точка пересечения с осью ординат (OY):

  В любой точке на оси OY координата $x$ равна нулю. Подставляем $x = 0$ в уравнение:

  $y = k \cdot 0 + b = b$.

  Таким образом, первая точка имеет координаты $(0, b)$.

• Точка пересечения с осью абсцисс (OX):

  В любой точке на оси OX координата $y$ равна нулю. Подставляем $y = 0$ в уравнение:

  $0 = kx + b$.

  Если $k \neq 0$, то $kx = -b$, и отсюда $x = -b/k$.

  Таким образом, вторая точка имеет координаты $(-b/k, 0)$.

Пример: Построим график функции $y = 2x - 3$.

1. Найдём первую точку. Возьмём $x = 0$. Тогда $y = 2 \cdot 0 - 3 = -3$. Получаем точку $(0, -3)$.
2. Найдём вторую точку. Возьмём $x = 2$. Тогда $y = 2 \cdot 2 - 3 = 1$. Получаем точку $(2, 1)$.
3. Отмечаем на координатной плоскости точки $(0, -3)$ и $(2, 1)$ и проводим через них прямую.

Ответ: Для построения графика линейной функции $y = kx + b$ необходимо найти координаты двух любых точек, принадлежащих этому графику (например, взяв два произвольных значения $x$ и вычислив для них $y$), отметить эти точки на координатной плоскости и провести через них прямую.

Как его расположение зависит от k и b?

Расположение графика функции $y = kx + b$ на координатной плоскости полностью определяется значениями коэффициентов (параметров) $k$ и $b$.

Влияние коэффициента $b$

Коэффициент $b$, также называемый свободным членом, определяет точку пересечения графика с осью ординат (OY). Как мы выяснили ранее, при $x=0$ значение $y=b$. Следовательно, прямая всегда проходит через точку с координатами $(0, b)$.

• Если $b > 0$, прямая пересекает ось OY выше начала координат.
• Если $b < 0$, прямая пересекает ось OY ниже начала координат.
• Если $b = 0$, прямая проходит через начало координат $(0, 0)$. Такая функция ($y = kx$) называется прямой пропорциональностью.

Таким образом, параметр $b$ отвечает за вертикальный сдвиг графика. Изменение $b$ перемещает прямую $y=kx$ вверх или вниз вдоль оси OY, не меняя её наклона.

Влияние коэффициента $k$

Коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом. Он определяет угол наклона прямой относительно положительного направления оси абсцисс (OX). Геометрически $k$ равен тангенсу этого угла ($k = \tan\alpha$).

• Если $k > 0$, то функция является возрастающей (с увеличением $x$ увеличивается и $y$). Угол наклона прямой к оси OX — острый ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$). График "идёт вверх" при движении слева направо. Чем больше значение $k$, тем "круче" прямая, т.е. тем быстрее она возрастает.
• Если $k < 0$, то функция является убывающей (с увеличением $x$ значение $y$ уменьшается). Угол наклона прямой к оси OX — тупой ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$). График "идёт вниз" при движении слева направо. Чем меньше значение $k$ (т.е. чем больше его модуль $|k|$), тем "круче" убывает прямая.
• Если $k = 0$, уравнение принимает вид $y = b$. Графиком является горизонтальная прямая, параллельная оси OX (или совпадающая с ней, если $b=0$), проходящая через точку $(0, b)$. Угол наклона в этом случае равен $0^\circ$.

Ответ: Коэффициент $k$ (угловой коэффициент) отвечает за наклон графика и характер монотонности функции: при $k > 0$ функция возрастает, при $k < 0$ — убывает, а при $k = 0$ функция постоянна (её график параллелен оси OX). Коэффициент $b$ отвечает за вертикальное смещение графика и определяет ординату точки пересечения прямой с осью OY.