Номер 33.10, страница 199 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

33.10. Докажите тождество:

1) $ (3a + b)^3 - (a+3b)^3 - 18ab(a - b) = 26(a^3 - b^3); $

2) $ (x + 4y)^3 + (4x - y)^3 + 12xy(3x - 5y) - 128y^3 = 65(x^3 - y^3). $

1) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Раскроем скобки, используя формулу куба суммы $(x+y)^3 = x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$ и распределительный закон.

Сначала раскроем каждый член выражения по отдельности:

$(3a+b)^3 = (3a)^3 + 3 \cdot (3a)^2 \cdot b + 3 \cdot 3a \cdot b^2 + b^3 = 27a^3 + 27a^2b + 9ab^2 + b^3$

$(a+3b)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot (3b) + 3 \cdot a \cdot (3b)^2 + (3b)^3 = a^3 + 9a^2b + 27ab^2 + 27b^3$

$-18ab(a-b) = -18a^2b + 18ab^2$

Теперь подставим полученные выражения в левую часть исходного равенства и упростим его:

$(3a + b)^3 - (a + 3b)^3 - 18ab(a - b) = (27a^3 + 27a^2b + 9ab^2 + b^3) - (a^3 + 9a^2b + 27ab^2 + 27b^3) - 18a^2b + 18ab^2$

Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:

$27a^3 + 27a^2b + 9ab^2 + b^3 - a^3 - 9a^2b - 27ab^2 - 27b^3 - 18a^2b + 18ab^2 = $

$(27a^3 - a^3) + (b^3 - 27b^3) + (27a^2b - 9a^2b - 18a^2b) + (9ab^2 - 27ab^2 + 18ab^2) =$

$26a^3 - 26b^3 + (18a^2b - 18a^2b) + (-18ab^2 + 18ab^2) = 26a^3 - 26b^3 + 0 + 0 = 26a^3 - 26b^3$

Вынесем общий множитель 26 за скобки:

$26(a^3 - b^3)$

В результате преобразований левая часть тождества стала равна правой части. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Раскроем скобки, используя формулы куба суммы $(x+y)^3 = x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$ и куба разности $(x-y)^3 = x^3-3x^2y+3xy^2-y^3$.

Раскроем каждый член выражения по отдельности:

$(x+4y)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot (4y) + 3 \cdot x \cdot (4y)^2 + (4y)^3 = x^3 + 12x^2y + 48xy^2 + 64y^3$

$(4x-y)^3 = (4x)^3 - 3 \cdot (4x)^2 \cdot y + 3 \cdot 4x \cdot y^2 - y^3 = 64x^3 - 48x^2y + 12xy^2 - y^3$

$12xy(3x-5y) = 36x^2y - 60xy^2$

Подставим все полученные выражения в левую часть исходного равенства:

$(x + 4y)^3 + (4x - y)^3 + 12xy(3x - 5y) - 128y^3 = (x^3 + 12x^2y + 48xy^2 + 64y^3) + (64x^3 - 48x^2y + 12xy^2 - y^3) + (36x^2y - 60xy^2) - 128y^3$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^3 + 12x^2y + 48xy^2 + 64y^3 + 64x^3 - 48x^2y + 12xy^2 - y^3 + 36x^2y - 60xy^2 - 128y^3 = $

$(x^3 + 64x^3) + (64y^3 - y^3 - 128y^3) + (12x^2y - 48x^2y + 36x^2y) + (48xy^2 + 12xy^2 - 60xy^2) =$

$65x^3 - 65y^3 + (-36x^2y + 36x^2y) + (60xy^2 - 60xy^2) = 65x^3 - 65y^3 + 0 + 0 = 65x^3 - 65y^3$

Вынесем общий множитель 65 за скобки:

$65(x^3 - y^3)$

В результате преобразований левая часть тождества стала равна правой части. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.