Номер 33.15, страница 199 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите уравнения (33.15-33.16):

33.15.

1) $(x + 2)^3 - (x - 2)^3 = 2x(6x + 2);$

2) $(x + 3)^3 - (x - 4)^3 = 21x^2 + 7;$

3) $(x + 2)^3 + 3x^2 - 11 = (x + 3)^3;$

4) $(x - 3)^3 = x^2(x - 9) + 27.$

1) $(x + 2)^3 - (x - 2)^3 = 2x(6x + 2)$

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения для куба суммы и куба разности: $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ и $(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$.

Левая часть: $(x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 + 2^3) - (x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 - 2^3)$

$= (x^3 + 6x^2 + 12x + 8) - (x^3 - 6x^2 + 12x - 8)$

$= x^3 + 6x^2 + 12x + 8 - x^3 + 6x^2 - 12x + 8 = 12x^2 + 16$.

Правая часть: $2x(6x + 2) = 12x^2 + 4x$.

Приравняем левую и правую части:

$12x^2 + 16 = 12x^2 + 4x$

Вычтем $12x^2$ из обеих частей уравнения:

$16 = 4x$

Найдем $x$:

$x = \frac{16}{4}$

$x = 4$

Ответ: $4$.

2) $(x + 3)^3 - (x - 4)^3 = 21x^2 + 7$

Раскроем скобки в левой части уравнения.

$(x+3)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 + 3^3 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27$

$(x-4)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 4 + 3 \cdot x \cdot 4^2 - 4^3 = x^3 - 12x^2 + 48x - 64$

Подставим в уравнение:

$(x^3 + 9x^2 + 27x + 27) - (x^3 - 12x^2 + 48x - 64) = 21x^2 + 7$

$x^3 + 9x^2 + 27x + 27 - x^3 + 12x^2 - 48x + 64 = 21x^2 + 7$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$21x^2 - 21x + 91 = 21x^2 + 7$

Вычтем $21x^2$ из обеих частей:

$-21x + 91 = 7$

$-21x = 7 - 91$

$-21x = -84$

$x = \frac{-84}{-21}$

$x = 4$

Ответ: $4$.

3) $(x + 2)^3 + 3x^2 - 11 = (x + 3)^3$

Раскроем скобки, используя формулы куба суммы.

$(x^3 + 6x^2 + 12x + 8) + 3x^2 - 11 = (x^3 + 9x^2 + 27x + 27)$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$x^3 + 9x^2 + 12x - 3 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27$

Сократим одинаковые члены $x^3$ и $9x^2$ в обеих частях уравнения:

$12x - 3 = 27x + 27$

Сгруппируем слагаемые с $x$ в одной части, а свободные члены в другой:

$-3 - 27 = 27x - 12x$

$-30 = 15x$

$x = \frac{-30}{15}$

$x = -2$

Ответ: $-2$.

4) $(x - 3)^3 = x^2(x - 9) + 27$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения.

Левая часть: $(x - 3)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 - 3^3 = x^3 - 9x^2 + 27x - 27$.

Правая часть: $x^2(x - 9) + 27 = x^3 - 9x^2 + 27$.

Приравняем левую и правую части:

$x^3 - 9x^2 + 27x - 27 = x^3 - 9x^2 + 27$

Сократим одинаковые члены $x^3$ и $-9x^2$ в обеих частях:

$27x - 27 = 27$

Перенесем -27 в правую часть:

$27x = 27 + 27$

$27x = 54$

$x = \frac{54}{27}$

$x = 2$

Ответ: $2$.