Номер 33.20, страница 200 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

33.20. Докажите, что при любых значениях переменных значение выражения равно нулю:

1) $(a + x)^3 - a(a + x)^2 - x^2(2a + x) - a^2x;$

2) $(a-1)^3 + 3(a - 1)^2 + 3(a-1) + 1 - a^3;$

3) $(x^3 + y^3)^2 - (x^2 + y^2)^3 + 3x^2y^2(x + y)^2 - 8x^3y^3;$

4) $(m - 3n)^3 - (2m - 3n)(3mn + (m - 3n)^2) + m^3.$

1) Упростим выражение $(a + x)³ - a(a + x)² - x²(2a + x) - a²x$. Сгруппируем первые два слагаемых и вынесем общий множитель $(a+x)²$ за скобки: $(a+x)²((a+x) - a) - x²(2a + x) - a²x = (a+x)² \cdot x - x²(2a + x) - a²x$. Теперь раскроем скобки в полученном выражении. Сначала раскроем $(a+x)²$: $x(a² + 2ax + x²) - (2ax² + x³) - a²x = a²x + 2ax² + x³ - 2ax² - x³ - a²x$. Приведем подобные слагаемые: $(a²x - a²x) + (2ax² - 2ax²) + (x³ - x³) = 0 + 0 + 0 = 0$. Таким образом, значение выражения равно нулю.

Ответ: 0

2) Рассмотрим выражение $(a - 1)³ + 3(a - 1)² + 3(a - 1) + 1 - a³$. Первые четыре слагаемых соответствуют формуле куба суммы $(b+1)³ = b³+3b²+3b+1$. Сделаем замену $b = a-1$. Тогда выражение примет вид: $b³ + 3b² + 3b + 1 - a³ = (b+1)³ - a³$. Теперь вернемся к исходной переменной $a$, подставив $b = a-1$: $((a-1)+1)³ - a³ = a³ - a³ = 0$. Таким образом, значение выражения равно нулю.

Ответ: 0

3) Упростим выражение $(x³ + y³)² - (x² + y²)³ + 3x²y²(x + y)² - 8x³y³$. Для этого раскроем каждую часть выражения, используя формулы сокращенного умножения: $(x³ + y³)² = (x³)² + 2 \cdot x³ \cdot y³ + (y³)² = x⁶ + 2x³y³ + y⁶$. $(x² + y²)³ = (x²)³ + 3 \cdot (x²)² \cdot y² + 3 \cdot x² \cdot (y²)² + (y²)³ = x⁶ + 3x⁴y² + 3x²y⁴ + y⁶$. $3x²y²(x + y)² = 3x²y²(x² + 2xy + y²) = 3x⁴y² + 6x³y³ + 3x²y⁴$. Подставим полученные выражения в исходное: $(x⁶ + 2x³y³ + y⁶) - (x⁶ + 3x⁴y² + 3x²y⁴ + y⁶) + (3x⁴y² + 6x³y³ + 3x²y⁴) - 8x³y³$. Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые: $x⁶ + 2x³y³ + y⁶ - x⁶ - 3x⁴y² - 3x²y⁴ - y⁶ + 3x⁴y² + 6x³y³ + 3x²y⁴ - 8x³y³$ $= (x⁶ - x⁶) + (y⁶ - y⁶) + (-3x⁴y² + 3x⁴y²) + (-3x²y⁴ + 3x²y⁴) + (2x³y³ + 6x³y³ - 8x³y³) = 0$. Таким образом, значение выражения равно нулю.

Ответ: 0

4) Рассмотрим выражение $(m - 3n)³ - (2m - 3n)(3mn + (m - 3n)²) + m³$. Сначала упростим выражение в скобках во втором слагаемом: $3mn + (m - 3n)² = 3mn + (m² - 6mn + 9n²) = m² - 3mn + 9n²$. Выражение примет вид: $(m - 3n)³ - (2m - 3n)(m² - 3mn + 9n²) + m³$. Раскроем куб разности: $(m - 3n)³ = m³ - 3m²(3n) + 3m(3n)² - (3n)³ = m³ - 9m²n + 27mn² - 27n³$. Теперь раскроем произведение скобок: $(2m - 3n)(m² - 3mn + 9n²) = 2m(m² - 3mn + 9n²) - 3n(m² - 3mn + 9n²) = (2m³ - 6m²n + 18mn²) - (3m²n - 9mn² + 27n³) = 2m³ - 9m²n + 27mn² - 27n³$. Подставим полученные результаты в исходное выражение: $(m³ - 9m²n + 27mn² - 27n³) - (2m³ - 9m²n + 27mn² - 27n³) + m³$. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $m³ - 9m²n + 27mn² - 27n³ - 2m³ + 9m²n - 27mn² + 27n³ + m³ = (m³ - 2m³ + m³) + (-9m²n + 9m²n) + (27mn² - 27mn²) + (-27n³ + 27n³) = 0$. Таким образом, значение выражения равно нулю.

Ответ: 0