Номер 33.19, страница 200 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

33.19. Докажите тождество:

1) $(b + 5)^3 - b(b-5)^2 - 25(1 + b)^2 = 100;$

2) $5(1 - b)^3 + 5b(1+b)^2 - (1 - 5b)^2 = 4;$

3) $(2b - 3)^3 - 4b^2(2b-6)+6b(2b-9)=-27;$

4) $(b + 2)^3 + (2b + 1)^3 - 9b(b^2 + 2b + 2) - 10 =-1.$

1) Преобразуем левую часть равенства. Для этого раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения: куб суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ и квадрат суммы/разности $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.

Выражение $(b + 5)^3$ равно $b^3 + 3 \cdot b^2 \cdot 5 + 3 \cdot b \cdot 5^2 + 5^3 = b^3 + 15b^2 + 75b + 125$.

Выражение $b(b - 5)^2$ равно $b(b^2 - 10b + 25) = b^3 - 10b^2 + 25b$.

Выражение $25(1 + b)^2$ равно $25(1 + 2b + b^2) = 25 + 50b + 25b^2$.

Теперь подставим все в левую часть исходного равенства:

$(b^3 + 15b^2 + 75b + 125) - (b^3 - 10b^2 + 25b) - (25 + 50b + 25b^2)$.

Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:

$(b^3 - b^3) + (15b^2 + 10b^2 - 25b^2) + (75b - 25b - 50b) + (125 - 25)$

$= 0 + 0 + 0 + 100 = 100$.

Левая часть равна $100$, что равно правой части. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

2) Упростим левую часть равенства $5(1 - b)^3 + 5b(1 + b)^2 - (1 - 5b)^2 = 4$.

Для этого раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения: куб разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ и квадрат суммы/разности $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.

$5(1 - b)^3 = 5(1 - 3b + 3b^2 - b^3) = 5 - 15b + 15b^2 - 5b^3$.

$5b(1 + b)^2 = 5b(1 + 2b + b^2) = 5b + 10b^2 + 5b^3$.

$(1 - 5b)^2 = 1 - 10b + 25b^2$.

Подставим полученные выражения в левую часть:

$(5 - 15b + 15b^2 - 5b^3) + (5b + 10b^2 + 5b^3) - (1 - 10b + 25b^2)$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$5 - 15b + 15b^2 - 5b^3 + 5b + 10b^2 + 5b^3 - 1 + 10b - 25b^2$

$= (-5b^3 + 5b^3) + (15b^2 + 10b^2 - 25b^2) + (-15b + 5b + 10b) + (5 - 1)$

$= 0 + 0 + 0 + 4 = 4$.

Левая часть равна $4$, что равно правой части. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

3) Преобразуем левую часть равенства $(2b - 3)^3 - 4b^2(2b - 6) + 6b(2b - 9) = -27$.

Раскроем скобки. Для первого слагаемого используем формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

$(2b - 3)^3 = (2b)^3 - 3 \cdot (2b)^2 \cdot 3 + 3 \cdot (2b) \cdot 3^2 - 3^3 = 8b^3 - 36b^2 + 54b - 27$.

Для остальных слагаемых:

$-4b^2(2b - 6) = -8b^3 + 24b^2$.

$6b(2b - 9) = 12b^2 - 54b$.

Сложим все полученные выражения:

$(8b^3 - 36b^2 + 54b - 27) - 8b^3 + 24b^2 + 12b^2 - 54b$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(8b^3 - 8b^3) + (-36b^2 + 24b^2 + 12b^2) + (54b - 54b) - 27$

$= 0 + 0 + 0 - 27 = -27$.

Левая часть равна $-27$, что равно правой части. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

4) Упростим левую часть равенства $(b + 2)^3 + (2b + 1)^3 - 9b(b^2 + 2b + 2) - 10 = -1$.

Раскроем скобки, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

$(b + 2)^3 = b^3 + 3 \cdot b^2 \cdot 2 + 3 \cdot b \cdot 2^2 + 2^3 = b^3 + 6b^2 + 12b + 8$.

$(2b + 1)^3 = (2b)^3 + 3 \cdot (2b)^2 \cdot 1 + 3 \cdot (2b) \cdot 1^2 + 1^3 = 8b^3 + 12b^2 + 6b + 1$.

$-9b(b^2 + 2b + 2) = -9b^3 - 18b^2 - 18b$.

Подставим все в левую часть выражения и добавим константу:

$(b^3 + 6b^2 + 12b + 8) + (8b^3 + 12b^2 + 6b + 1) - 9b^3 - 18b^2 - 18b - 10$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(b^3 + 8b^3 - 9b^3) + (6b^2 + 12b^2 - 18b^2) + (12b + 6b - 18b) + (8 + 1 - 10)$

$= 0 + 0 + 0 - 1 = -1$.

Левая часть равна $-1$, что равно правой части. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.