Номер 33.21, страница 200 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

33.21. Выполните действия:

1) $(a + 2b)(a^2 + ab + b^2);$

2) $(a - 3b)(a^2 + 3ab + 9b^2).$

1) Чтобы выполнить умножение многочленов $(a + 2b)(a^2 + ab + b^2)$, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго и сложить полученные произведения.

Выполним умножение по частям (метод раскрытия скобок):

$(a + 2b)(a^2 + ab + b^2) = a \cdot (a^2 + ab + b^2) + 2b \cdot (a^2 + ab + b^2)$

Теперь раскроем каждую скобку:

1. Умножим $a$ на $(a^2 + ab + b^2)$:

$a \cdot a^2 + a \cdot ab + a \cdot b^2 = a^3 + a^2b + ab^2$

2. Умножим $2b$ на $(a^2 + ab + b^2)$:

$2b \cdot a^2 + 2b \cdot ab + 2b \cdot b^2 = 2a^2b + 2ab^2 + 2b^3$

3. Сложим полученные выражения и приведем подобные слагаемые:

$a^3 + a^2b + ab^2 + 2a^2b + 2ab^2 + 2b^3 = a^3 + (a^2b + 2a^2b) + (ab^2 + 2ab^2) + 2b^3$

Результат упрощения:

$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + 2b^3$

Ответ: $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + 2b^3$

2) Чтобы выполнить умножение $(a - 3b)(a^2 + 3ab + 9b^2)$, можно заметить, что это выражение соответствует формуле сокращенного умножения "разность кубов":

$(x - y)(x^2 + xy + y^2) = x^3 - y^3$

В данном случае, пусть $x = a$ и $y = 3b$. Проверим, соответствует ли второй множитель $(a^2 + 3ab + 9b^2)$ выражению $(x^2 + xy + y^2)$:

$x^2 = a^2$

$xy = a \cdot (3b) = 3ab$

$y^2 = (3b)^2 = 9b^2$

Поскольку все части совпадают, мы можем применить формулу разности кубов:

$(a - 3b)(a^2 + 3ab + 9b^2) = a^3 - (3b)^3 = a^3 - 27b^3$

В качестве проверки можно выполнить и прямое умножение:

$(a - 3b)(a^2 + 3ab + 9b^2) = a(a^2 + 3ab + 9b^2) - 3b(a^2 + 3ab + 9b^2)$

$= (a^3 + 3a^2b + 9ab^2) - (3ba^2 + 9ab^2 + 27b^3)$

$= a^3 + 3a^2b + 9ab^2 - 3a^2b - 9ab^2 - 27b^3$

Приведем подобные слагаемые:

$a^3 + (3a^2b - 3a^2b) + (9ab^2 - 9ab^2) - 27b^3 = a^3 - 27b^3$

Результаты обоих методов совпадают.

Ответ: $a^3 - 27b^3$