Номер 33.17, страница 200 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

33.17. Найдите наибольшее целое число, являющееся решением неравенства:

1) $(2 - 3x)^3 - 54x^2 \le -27x^3 - 41x$;

2) $(3 + 2x)^3 - 36x^2 \ge 60x + 8x^3$.

1) Дано неравенство $(2 - 3x)^3 - 54x^2 \le -27x^3 - 41x$.

Для решения раскроем скобки в левой части, используя формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Пусть $a=2$ и $b=3x$.

$(2 - 3x)^3 = 2^3 - 3 \cdot 2^2 \cdot (3x) + 3 \cdot 2 \cdot (3x)^2 - (3x)^3 = 8 - 36x + 54x^2 - 27x^3$.

Подставим полученное выражение в исходное неравенство:

$(8 - 36x + 54x^2 - 27x^3) - 54x^2 \le -27x^3 - 41x$.

Упростим левую часть, приведя подобные слагаемые:

$8 - 36x + (54x^2 - 54x^2) - 27x^3 \le -27x^3 - 41x$

$8 - 36x - 27x^3 \le -27x^3 - 41x$.

Теперь перенесем все члены с переменной $x$ в левую часть неравенства, а свободные члены — в правую. Для этого прибавим к обеим частям $27x^3$ и $41x$, а также вычтем 8:

$-36x + 41x - 27x^3 + 27x^3 \le -8$

$5x \le -8$.

Разделим обе части неравенства на 5 (знак неравенства не меняется, так как 5 > 0):

$x \le -\frac{8}{5}$

$x \le -1.6$.

Решением неравенства является множество всех чисел, которые меньше или равны -1.6, то есть промежуток $(-\infty; -1.6]$.

Требуется найти наибольшее целое число, являющееся решением. Целые числа, удовлетворяющие этому условию: ..., -4, -3, -2. Наибольшее из них -2.

Ответ: -2

2) Дано неравенство $(3 + 2x)^3 - 36x^2 \ge 60x + 8x^3$.

Для решения раскроем скобки в левой части, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Пусть $a=3$ и $b=2x$.

$(3 + 2x)^3 = 3^3 + 3 \cdot 3^2 \cdot (2x) + 3 \cdot 3 \cdot (2x)^2 + (2x)^3 = 27 + 54x + 36x^2 + 8x^3$.

Подставим полученное выражение в исходное неравенство:

$(27 + 54x + 36x^2 + 8x^3) - 36x^2 \ge 60x + 8x^3$.

Упростим левую часть, приведя подобные слагаемые:

$27 + 54x + (36x^2 - 36x^2) + 8x^3 \ge 60x + 8x^3$

$27 + 54x + 8x^3 \ge 60x + 8x^3$.

Теперь перенесем все члены с переменной $x$ в правую часть, а свободные члены оставим в левой. Для этого вычтем из обеих частей $8x^3$ и $54x$:

$27 \ge 60x - 54x + 8x^3 - 8x^3$

$27 \ge 6x$.

Разделим обе части неравенства на 6 (знак неравенства не меняется, так как 6 > 0):

$\frac{27}{6} \ge x$.

Сократим дробь и запишем неравенство в более привычном виде:

$x \le \frac{9}{2}$

$x \le 4.5$.

Решением неравенства является множество всех чисел, которые меньше или равны 4.5, то есть промежуток $(-\infty; 4.5]$.

Требуется найти наибольшее целое число, являющееся решением. Целые числа, удовлетворяющие этому условию: ..., 2, 3, 4. Наибольшее из них 4.

Ответ: 4