Номер 33.18, страница 200 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

33.18. Найдите наименьшее целое число, являющееся решением неравенства:

1) $(x - 7)^3 + 42x^2 \ge (x + 7)^3 + 14 - 7x;$

2) $(6 + x)^3 - 220x \le 2x^3 - (x - 6)^3 + 19.$

1) Решим неравенство $(x - 7)^3 + 42x^2 \ge (x + 7)^3 + 14 - 7x$.

Для начала раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения для куба разности и куба суммы: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ и $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

$(x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 7 + 3 \cdot x \cdot 7^2 - 7^3) + 42x^2 \ge (x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 7 + 3 \cdot x \cdot 7^2 + 7^3) + 14 - 7x$.

Выполним вычисления:

$(x^3 - 21x^2 + 147x - 343) + 42x^2 \ge (x^3 + 21x^2 + 147x + 343) + 14 - 7x$.

Приведем подобные слагаемые в обеих частях неравенства:

В левой части: $x^3 + (-21x^2 + 42x^2) + 147x - 343 = x^3 + 21x^2 + 147x - 343$.

В правой части: $x^3 + 21x^2 + (147x - 7x) + (343 + 14) = x^3 + 21x^2 + 140x + 357$.

Неравенство принимает вид:

$x^3 + 21x^2 + 147x - 343 \ge x^3 + 21x^2 + 140x + 357$.

Сократим одинаковые слагаемые $x^3$ и $21x^2$ в обеих частях. Затем перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$147x - 140x \ge 357 + 343$.

$7x \ge 700$.

Разделим обе части на 7:

$x \ge 100$.

Наименьшее целое число, удовлетворяющее этому условию, это 100.

Ответ: 100

2) Решим неравенство $(6 + x)^3 - 220x \le 2x^3 - (x - 6)^3 + 19$.

Перенесем слагаемое $-(x - 6)^3$ из правой части в левую, изменив знак:

$(6 + x)^3 + (x - 6)^3 - 220x \le 2x^3 + 19$.

Воспользуемся формулой суммы кубов: $(a+b)^3+(a-b)^3 = 2a^3+6ab^2$. В нашем случае $a=x$ и $b=6$.

$(x+6)^3 + (x-6)^3 = 2x^3 + 6 \cdot x \cdot 6^2 = 2x^3 + 216x$.

Подставим полученное выражение обратно в неравенство:

$(2x^3 + 216x) - 220x \le 2x^3 + 19$.

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$2x^3 - 4x \le 2x^3 + 19$.

Сократим одинаковые слагаемые $2x^3$ в обеих частях:

$-4x \le 19$.

Разделим обе части на -4. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \ge -\frac{19}{4}$.

Преобразуем дробь в десятичное число: $x \ge -4,75$.

Наименьшее целое число, которое больше или равно -4,75, это -4.

Ответ: -4