Номер 33.14, страница 199 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Упростите выражения (33.13-33.14):

33.14.

1) $(x + 5)^3 - (x + 1)^3 - 4(3x^2 - 5) + 10x - 7;$

2) $(x - 3)^3 - x^2(x + 6) - 5x(5 - 3x) - 19x + 1;$

3) $(y + 4)^3 + (3y + 1)^3 - 7y^2(4y + 9) + 24y^2 + 8;$

4) $(4y - 5)^3 - (4y + 5)^3 - 48y(1 - 10y) + 5 - 14y^2.$

1) Для упрощения выражения $(x + 5)^3 - (x + 1)^3 - 4(3x^2 - 5) + 10x - 7$ последовательно раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

Сначала раскроем кубы, используя формулу куба суммы $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$.

$(x+5)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 5 + 3 \cdot x \cdot 5^2 + 5^3 = x^3 + 15x^2 + 75x + 125$.

$-(x+1)^3 = -(x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 + 1^3) = -(x^3 + 3x^2 + 3x + 1) = -x^3 - 3x^2 - 3x - 1$.

Далее раскроем скобки с множителем:

$-4(3x^2-5) = -12x^2 + 20$.

Теперь подставим все в исходное выражение:

$x^3 + 15x^2 + 75x + 125 - x^3 - 3x^2 - 3x - 1 - 12x^2 + 20 + 10x - 7$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(x^3 - x^3) + (15x^2 - 3x^2 - 12x^2) + (75x - 3x + 10x) + (125 - 1 + 20 - 7) = 0 + (12x^2 - 12x^2) + (72x + 10x) + (124 + 13) = 82x + 137$.

Ответ: $82x + 137$.

2) Упростим выражение $(x - 3)^3 - x^2(x + 6) - 5x(5 - 3x) - 19x + 1$.

Раскроем скобки. Для первого слагаемого используем формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

$(x - 3)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 - 3^3 = x^3 - 9x^2 + 27x - 27$.

Для остальных слагаемых используем распределительный закон:

$-x^2(x + 6) = -x^3 - 6x^2$.

$-5x(5 - 3x) = -25x + 15x^2$.

Подставим полученные многочлены в исходное выражение:

$x^3 - 9x^2 + 27x - 27 - x^3 - 6x^2 - 25x + 15x^2 - 19x + 1$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(x^3 - x^3) + (-9x^2 - 6x^2 + 15x^2) + (27x - 25x - 19x) + (-27 + 1) = 0 + (-15x^2 + 15x^2) + (2x - 19x) - 26 = -17x - 26$.

Ответ: $-17x - 26$.

3) Упростим выражение $(y + 4)^3 + (3y + 1)^3 - 7y^2(4y + 9) + 24y^2 + 8$.

Раскроем скобки, используя формулу куба суммы $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$.

$(y + 4)^3 = y^3 + 3 \cdot y^2 \cdot 4 + 3 \cdot y \cdot 4^2 + 4^3 = y^3 + 12y^2 + 48y + 64$.

$(3y + 1)^3 = (3y)^3 + 3 \cdot (3y)^2 \cdot 1 + 3 \cdot (3y) \cdot 1^2 + 1^3 = 27y^3 + 27y^2 + 9y + 1$.

Раскроем произведение:

$-7y^2(4y + 9) = -28y^3 - 63y^2$.

Подставим все части в исходное выражение:

$y^3 + 12y^2 + 48y + 64 + 27y^3 + 27y^2 + 9y + 1 - 28y^3 - 63y^2 + 24y^2 + 8$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(y^3 + 27y^3 - 28y^3) + (12y^2 + 27y^2 - 63y^2 + 24y^2) + (48y + 9y) + (64 + 1 + 8) = (28y^3 - 28y^3) + (63y^2 - 63y^2) + 57y + 73 = 57y + 73$.

Ответ: $57y + 73$.

4) Упростим выражение $(4y - 5)^3 - (4y + 5)^3 - 48y(1 - 10y) + 5 - 14y^2$.

Раскроем скобки. Для первых двух слагаемых используем формулы куба разности и куба суммы: $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$ и $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$.

$(4y - 5)^3 = (4y)^3 - 3 \cdot (4y)^2 \cdot 5 + 3 \cdot 4y \cdot 5^2 - 5^3 = 64y^3 - 240y^2 + 300y - 125$.

$-(4y + 5)^3 = -((4y)^3 + 3 \cdot (4y)^2 \cdot 5 + 3 \cdot 4y \cdot 5^2 + 5^3) = -(64y^3 + 240y^2 + 300y + 125) = -64y^3 - 240y^2 - 300y - 125$.

Раскроем произведение:

$-48y(1 - 10y) = -48y + 480y^2$.

Подставим все в исходное выражение:

$64y^3 - 240y^2 + 300y - 125 - 64y^3 - 240y^2 - 300y - 125 - 48y + 480y^2 + 5 - 14y^2$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(64y^3 - 64y^3) + (-240y^2 - 240y^2 + 480y^2 - 14y^2) + (300y - 300y - 48y) + (-125 - 125 + 5) = 0 + (-480y^2 + 480y^2 - 14y^2) - 48y + (-250 + 5) = -14y^2 - 48y - 245$.

Ответ: $-14y^2 - 48y - 245$.