Номер 33.8, страница 198 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите уравнения (33.8-33.9):

33.8.

1) $(x + 1)^3 - 4x = 5 + x^2(x + 3);$

2) $(1 - y)^3 + 8y = 7 + y^2(3 - y);$

3) $(x + 1)^3 + (x - 1)^3 - 2x^3 = 12;$

4) $(1 + y)^3 + (1 - y)^3 - 6y^2 = 3y - 1.$

1) $(x + 1)^3 - 4x = 5 + x^2(x + 3)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. Для левой части используем формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

$(x + 1)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 + 1^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$.

В правой части раскроем скобки, умножив $x^2$ на каждый член в скобках:

$x^2(x + 3) = x^3 + 3x^2$.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$(x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - 4x = 5 + (x^3 + 3x^2)$.

Упростим левую часть, приведя подобные слагаемые:

$x^3 + 3x^2 + (3x - 4x) + 1 = x^3 + 3x^2 - x + 1$.

Теперь уравнение выглядит так:

$x^3 + 3x^2 - x + 1 = 5 + x^3 + 3x^2$.

Перенесем все члены с переменной в левую часть, а числа — в правую. Члены $x^3$ и $3x^2$ взаимно уничтожаются, так как они есть в обеих частях с одинаковым знаком:

$(x^3 - x^3) + (3x^2 - 3x^2) - x = 5 - 1$.

$-x = 4$.

Умножим обе части на $-1$:

$x = -4$.

Ответ: $x = -4$.

2) $(1 - y)^3 + 8y = 7 + y^2(3 - y)$

Раскроем скобки в обеих частях. Для левой части используем формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

$(1 - y)^3 = 1^3 - 3 \cdot 1^2 \cdot y + 3 \cdot 1 \cdot y^2 - y^3 = 1 - 3y + 3y^2 - y^3$.

В правой части раскроем скобки:

$y^2(3 - y) = 3y^2 - y^3$.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$(1 - 3y + 3y^2 - y^3) + 8y = 7 + (3y^2 - y^3)$.

Упростим левую часть, приведя подобные слагаемые:

$1 + (-3y + 8y) + 3y^2 - y^3 = 1 + 5y + 3y^2 - y^3$.

Теперь уравнение выглядит так:

$1 + 5y + 3y^2 - y^3 = 7 + 3y^2 - y^3$.

Члены $-y^3$ и $3y^2$ присутствуют в обеих частях уравнения и взаимно уничтожаются:

$1 + 5y = 7$.

Перенесем 1 в правую часть:

$5y = 7 - 1$.

$5y = 6$.

Разделим обе части на 5:

$y = \frac{6}{5}$ или $y = 1.2$.

Ответ: $y = \frac{6}{5}$.

3) $(x + 1)^3 + (x - 1)^3 - 2x^3 = 12$

Раскроем скобки, используя формулы куба суммы и куба разности.

$(x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$.

$(x - 1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$.

Подставим эти выражения в уравнение:

$(x^3 + 3x^2 + 3x + 1) + (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) - 2x^3 = 12$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые в левой части:

$(x^3 + x^3 - 2x^3) + (3x^2 - 3x^2) + (3x + 3x) + (1 - 1) = 12$.

$0 \cdot x^3 + 0 \cdot x^2 + 6x + 0 = 12$.

$6x = 12$.

Разделим обе части на 6:

$x = 2$.

Ответ: $x = 2$.

4) $(1 + y)^3 + (1 - y)^3 - 6y^2 = 3y - 1$

Раскроем скобки в левой части, используя формулы куба суммы и куба разности.

$(1 + y)^3 = 1 + 3y + 3y^2 + y^3$.

$(1 - y)^3 = 1 - 3y + 3y^2 - y^3$.

Можно заметить, что сумма этих двух выражений упрощается: $(a+b)^3 + (a-b)^3 = 2a^3 + 6ab^2$. В нашем случае $a=1, b=y$, поэтому $(1+y)^3 + (1-y)^3 = 2(1)^3 + 6(1)y^2 = 2 + 6y^2$.

Подставим это упрощенное выражение в уравнение:

$(2 + 6y^2) - 6y^2 = 3y - 1$.

Упростим левую часть:

$2 + 6y^2 - 6y^2 = 2$.

Получаем простое линейное уравнение:

$2 = 3y - 1$.

Перенесем -1 в левую часть:

$2 + 1 = 3y$.

$3 = 3y$.

Разделим обе части на 3:

$y = 1$.

Ответ: $y = 1$.