Номер 33.5, страница 198 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Представьте в виде куба двучлена многочлены (33.5-33.6):

33.5.

1) $x^3 - 3x^2 + 3x - 1$;

2) $y^3 - 3y^2 + 3y - 1$;

3) $8 + 12p + 6p^2 + p^3$;

4) $1 - 6q + 12q^2 - 8q^3$;

5) $125 - 75a + 15a^2 - a^3$;

6) $0,008 + 0,12p + 0,6p^2 + p^3$.

1) Для преобразования многочлена $x^3 - 3x^2 + 3x - 1$ воспользуемся формулой сокращенного умножения для куба разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Определим значения $a$ и $b$. Первый член многочлена $x^3$ соответствует $a^3$, следовательно, $a=x$. Четвертый член $-1$ соответствует $-b^3$, следовательно, $b=1$.

Теперь проверим, соответствуют ли второй и третий члены многочлена этой формуле с $a=x$ и $b=1$.

- Второй член формулы: $-3a^2b = -3 \cdot x^2 \cdot 1 = -3x^2$. Это совпадает со вторым членом многочлена.

- Третий член формулы: $+3ab^2 = +3 \cdot x \cdot 1^2 = +3x$. Это совпадает с третьим членом многочлена.

Поскольку все члены совпадают, данный многочлен является кубом разности выражений $x$ и $1$.

Ответ: $(x-1)^3$

2) Многочлен $y^3 - 3y^2 + 3y - 1$ имеет такую же структуру, как и в предыдущем задании. Применим формулу куба разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

В данном случае $a^3 = y^3$, значит $a=y$. Последний член $-1 = -(1)^3$, значит $b=1$.

Проверим средние члены с $a=y$ и $b=1$:

- Второй член: $-3a^2b = -3 \cdot y^2 \cdot 1 = -3y^2$.

- Третий член: $+3ab^2 = +3 \cdot y \cdot 1^2 = +3y$.

Все члены соответствуют формуле, следовательно, многочлен можно представить в виде куба разности.

Ответ: $(y-1)^3$

3) Рассмотрим многочлен $8 + 12p + 6p^2 + p^3$. Все знаки в многочлене — плюсы, значит, следует использовать формулу куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Первый член $8$ можно представить как $2^3$, поэтому $a=2$. Последний член $p^3$ соответствует $b^3$, поэтому $b=p$.

Проверим соответствие средних членов формуле с $a=2$ и $b=p$:

- Второй член: $3a^2b = 3 \cdot 2^2 \cdot p = 3 \cdot 4 \cdot p = 12p$.

- Третий член: $3ab^2 = 3 \cdot 2 \cdot p^2 = 6p^2$.

Все члены многочлена совпадают с разложением куба суммы $(2+p)$.

Ответ: $(2+p)^3$

4) В многочлене $1 - 6q + 12q^2 - 8q^3$ знаки чередуются, что указывает на формулу куба разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Первый член $1 = 1^3$, значит $a=1$. Последний член $-8q^3$ можно представить как $-(2q)^3$, значит $b=2q$.

Проверим средние члены с $a=1$ и $b=2q$:

- Второй член: $-3a^2b = -3 \cdot 1^2 \cdot (2q) = -6q$.

- Третий член: $+3ab^2 = +3 \cdot 1 \cdot (2q)^2 = 3 \cdot 4q^2 = 12q^2$.

Полное совпадение с формулой подтверждает, что многочлен является кубом разности $(1-2q)$.

Ответ: $(1-2q)^3$

5) Для многочлена $125 - 75a + 15a^2 - a^3$ снова используем формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ из-за чередования знаков.

Первый член $125 = 5^3$, значит $a=5$. Последний член $-a^3 = -(a)^3$, значит $b=a$.

Выполним проверку средних членов с $a=5$ и $b=a$:

- Второй член: $-3a^2b = -3 \cdot 5^2 \cdot a = -3 \cdot 25 \cdot a = -75a$.

- Третий член: $+3ab^2 = +3 \cdot 5 \cdot a^2 = 15a^2$.

Многочлен полностью соответствует разложению куба разности $(5-a)$.

Ответ: $(5-a)^3$

6) В многочлене $0,008 + 0,12p + 0,6p^2 + p^3$ все знаки положительные. Используем формулу куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Первый член $0,008 = (0,2)^3$, значит $a=0,2$. Последний член $p^3$, значит $b=p$.

Проверим средние члены с $a=0,2$ и $b=p$:

- Второй член: $3a^2b = 3 \cdot (0,2)^2 \cdot p = 3 \cdot 0,04 \cdot p = 0,12p$.

- Третий член: $3ab^2 = 3 \cdot 0,2 \cdot p^2 = 0,6p^2$.

Так как все члены совпадают с формулой, многочлен является кубом суммы $(0,2+p)$.

Ответ: $(0,2+p)^3$