Вопросы для закрепления, страница 197 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Как можно записать формулы куба суммы и куба разности одним равенством?

2. Какие правила были использованы при выводе формулы куба суммы и куба разности?

1. Формулы куба суммы и куба разности для двух выражений $a$ и $b$ можно записать по отдельности:

Куб суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Куб разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Чтобы объединить эти два равенства в одно, используется знак «плюс-минус» ($\pm$). Этот знак позволяет компактно записать оба варианта. Правило его использования таково: если в левой части выражения берется верхний знак (в данном случае «+»), то и во всех местах в правой части, где стоит знак $\pm$, также берется верхний знак. Аналогично для нижнего знака («–»).

Таким образом, объединенная формула выглядит следующим образом:

$(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$

Разберем эту запись:

• Если выбрать верхние знаки, мы получим формулу куба суммы: $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
• Если выбрать нижние знаки, мы получим формулу куба разности: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Ответ: Формулы куба суммы и куба разности можно записать одним равенством: $(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$.

2. При выводе формул куба суммы и куба разности используется последовательность нескольких базовых алгебраических правил и определений. Продемонстрируем это на примере вывода формулы куба суммы $(a+b)^3$.

Шаг 1: Определение степени с натуральным показателем. Куб выражения — это произведение этого выражения на себя три раза.

$(a+b)^3 = (a+b)(a+b)(a+b)$

Шаг 2: Сочетательное свойство умножения и формула квадрата суммы. Сначала перемножаются первые два сомножителя, что является возведением в квадрат. Используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$, получаем:

$(a+b)^2(a+b) = (a^2 + 2ab + b^2)(a+b)$

Шаг 3: Правило умножения многочлена на многочлен. Это правило, основанное на распределительном свойстве умножения, гласит, что нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена.

$(a^2 + 2ab + b^2) \cdot a + (a^2 + 2ab + b^2) \cdot b = (a^3 + 2a^2b + ab^2) + (a^2b + 2ab^2 + b^3)$

Шаг 4: Приведение подобных слагаемых. Складываются члены с одинаковой буквенной частью, чтобы упростить выражение.

$a^3 + (2a^2b + a^2b) + (ab^2 + 2ab^2) + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Формула для куба разности $(a-b)^3$ выводится абсолютно аналогично. Другой способ ее получения — это использование уже выведенной формулы куба суммы, представив разность как $a-b = a+(-b)$ и применив правила работы со степенями отрицательных чисел.

Ответ: При выводе формул были использованы: определение степени с натуральным показателем, сочетательное и распределительное свойства умножения (правило умножения многочленов), формула квадрата суммы и правило приведения подобных слагаемых.