Задания, страница 197 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Самостоятельно докажите справедливость формулы: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3.$

Для доказательства справедливости формулы необходимо раскрыть скобки в левой части равенства $(a-b)^3$ и показать, что полученное выражение тождественно правой части.

Представим куб разности как произведение:

$(a-b)^3 = (a-b)(a-b)(a-b) = (a-b)(a-b)^2$

Сначала воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Применим её к выражению $(a-b)^2$:

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное:

$(a-b)^3 = (a-b)(a^2 - 2ab + b^2)$

Далее, умножим каждый член из первой скобки $(a-b)$ на многочлен во второй скобке $(a^2 - 2ab + b^2)$:

$(a-b)(a^2 - 2ab + b^2) = a(a^2 - 2ab + b^2) - b(a^2 - 2ab + b^2)$

Раскроем скобки, выполнив умножение:

$a \cdot a^2 - a \cdot 2ab + a \cdot b^2 - b \cdot a^2 + b \cdot 2ab - b \cdot b^2$

$a^3 - 2a^2b + ab^2 - a^2b + 2ab^2 - b^3$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$a^3 + (-2a^2b - a^2b) + (ab^2 + 2ab^2) - b^3$

Выполним сложение и вычитание в группах:

$a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Таким образом, мы преобразовали левую часть формулы $(a-b)^3$ и получили в результате правую часть $a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$, что и доказывает справедливость данной формулы.

Ответ: Справедливость формулы доказана, так как $(a-b)^3 = (a-b)(a^2 - 2ab + b^2) = a^3 - 2a^2b + ab^2 - a^2b + 2ab^2 - b^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.