Номер 33.6, страница 198 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Представьте в виде куба двучлена многочлены

33.6.

1) $a^3 - 6a^2b + 12ab^2 - 8b^3;$

2) $27m^3 + 27m^2n + 9mn^2 + n^3;$

3) $8p^3 + 27q^3 + 54pq^2 + 36p^2q;$

4) $x^3y^3 - 6x^2y^2 + 12xy - 8.$

1) Для того чтобы представить многочлен $a^3 - 6a^2b + 12ab^2 - 8b^3$ в виде куба двучлена, воспользуемся формулой куба разности: $(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.

Определим $x$ и $y$ из нашего выражения. Первое слагаемое $a^3$ соответствует $x^3$, значит, $x = a$.

Последнее слагаемое $-8b^3$ соответствует $-y^3$. Так как $8b^3 = (2b)^3$, то $y = 2b$.

Проверим средние члены, подставляя $x=a$ и $y=2b$ в формулу:

Второй член: $-3x^2y = -3 \cdot a^2 \cdot (2b) = -6a^2b$. Это соответствует второму члену многочлена.

Третий член: $3xy^2 = 3 \cdot a \cdot (2b)^2 = 3 \cdot a \cdot 4b^2 = 12ab^2$. Это соответствует третьему члену многочлена.

Таким образом, многочлен является полным кубом разности $a$ и $2b$.

$a^3 - 6a^2b + 12ab^2 - 8b^3 = (a - 2b)^3$.

Ответ: $(a - 2b)^3$.

2) Для многочлена $27m^3 + 27m^2n + 9mn^2 + n^3$ воспользуемся формулой куба суммы: $(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

Определим $x$ и $y$. Первое слагаемое $27m^3 = (3m)^3$, значит, $x = 3m$.

Последнее слагаемое $n^3$, значит, $y = n$.

Проверим средние члены, подставляя $x=3m$ и $y=n$ в формулу:

Второй член: $3x^2y = 3 \cdot (3m)^2 \cdot n = 3 \cdot 9m^2 \cdot n = 27m^2n$. Это соответствует второму члену многочлена.

Третий член: $3xy^2 = 3 \cdot (3m) \cdot n^2 = 9mn^2$. Это соответствует третьему члену многочлена.

Следовательно, многочлен является полным кубом суммы $3m$ и $n$.

$27m^3 + 27m^2n + 9mn^2 + n^3 = (3m + n)^3$.

Ответ: $(3m + n)^3$.

3) Рассмотрим многочлен $8p^3 + 27q^3 + 54pq^2 + 36p^2q$. Сначала упорядочим его по убывающим степеням переменной $p$: $8p^3 + 36p^2q + 54pq^2 + 27q^3$.

Это выражение похоже на формулу куба суммы: $(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

Определим $x$ и $y$. Первое слагаемое $8p^3 = (2p)^3$, значит, $x = 2p$.

Последнее слагаемое $27q^3 = (3q)^3$, значит, $y = 3q$.

Проверим средние члены, подставляя $x=2p$ и $y=3q$ в формулу:

Второй член: $3x^2y = 3 \cdot (2p)^2 \cdot (3q) = 3 \cdot 4p^2 \cdot 3q = 36p^2q$. Это соответствует второму члену упорядоченного многочлена.

Третий член: $3xy^2 = 3 \cdot (2p) \cdot (3q)^2 = 3 \cdot 2p \cdot 9q^2 = 54pq^2$. Это соответствует третьему члену упорядоченного многочлена.

Таким образом, многочлен является полным кубом суммы $2p$ и $3q$.

$8p^3 + 36p^2q + 54pq^2 + 27q^3 = (2p + 3q)^3$.

Ответ: $(2p + 3q)^3$.

4) Для многочлена $x^3y^3 - 6x^2y^2 + 12xy - 8$ воспользуемся формулой куба разности: $(A - B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$.

Определим $A$ и $B$. Первое слагаемое $x^3y^3 = (xy)^3$, значит, $A = xy$.

Последнее слагаемое $-8 = -(2)^3$, значит, $B = 2$.

Проверим средние члены, подставляя $A=xy$ и $B=2$ в формулу:

Второй член: $-3A^2B = -3 \cdot (xy)^2 \cdot 2 = -3 \cdot x^2y^2 \cdot 2 = -6x^2y^2$. Это соответствует второму члену многочлена.

Третий член: $3AB^2 = 3 \cdot (xy) \cdot 2^2 = 3 \cdot xy \cdot 4 = 12xy$. Это соответствует третьему члену многочлена.

Следовательно, многочлен является полным кубом разности $xy$ и $2$.

$x^3y^3 - 6x^2y^2 + 12xy - 8 = (xy - 2)^3$.

Ответ: $(xy - 2)^3$.