Номер 33.12, страница 199 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

33.12. Представьте в виде куба двучлена многочлен:

1) $8x^3 - 60x^2y + 150xy^2 - 125y^3;$

2) $64a^{15} + 144a^{10}b^3 + 108a^5b^6 + 27b^9;$

3) $0,125a^9 - 0,15a^6b^4 + 0,06a^3b^8 - 0,008b^{12};$

4) $0,216x^{12} + 0,54x^8y^5 + 0,45x^4y^{10} + 0,125y^{15}.$

1) Для представления многочлена $8x^3 - 60x^2y + 150xy^2 - 125y^3$ в виде куба двучлена воспользуемся формулой куба разности: $(A-B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$. В данном выражении знаки чередуются, что соответствует этой формуле. Первый член многочлена $8x^3$ можно представить как куб выражения $2x$, то есть $A^3 = (2x)^3$, откуда $A=2x$. Последний член многочлена $125y^3$ можно представить как куб выражения $5y$, то есть $B^3 = (5y)^3$, откуда $B=5y$. Теперь проверим, соответствуют ли второй и третий члены многочлена формуле, подставив найденные $A$ и $B$. Второй член: $3A^2B = 3 \cdot (2x)^2 \cdot (5y) = 3 \cdot 4x^2 \cdot 5y = 60x^2y$. Третий член: $3AB^2 = 3 \cdot (2x) \cdot (5y)^2 = 3 \cdot 2x \cdot 25y^2 = 150xy^2$. Все члены совпали, следовательно, данный многочлен является разложением куба разности $(2x-5y)$. Ответ: $(2x - 5y)^3$.

2) Многочлен $64a^{15} + 144a^{10}b^3 + 108a^5b^6 + 27b^9$ состоит из четырех положительных членов. Это указывает на формулу куба суммы: $(A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$. Определим $A$ и $B$. Первый член $64a^{15}$ можно представить как $(4a^5)^3$, следовательно $A = 4a^5$. Последний член $27b^9$ можно представить как $(3b^3)^3$, следовательно $B = 3b^3$. Проверим соответствие средних членов формуле: Второй член: $3A^2B = 3 \cdot (4a^5)^2 \cdot (3b^3) = 3 \cdot 16a^{10} \cdot 3b^3 = 144a^{10}b^3$. Третий член: $3AB^2 = 3 \cdot (4a^5) \cdot (3b^3)^2 = 3 \cdot 4a^5 \cdot 9b^6 = 108a^5b^6$. Все члены совпали, значит, многочлен является разложением куба суммы $(4a^5 + 3b^3)$. Ответ: $(4a^5 + 3b^3)^3$.

3) В многочлене $0,125a^9 - 0,15a^6b^4 + 0,06a^3b^8 - 0,008b^{12}$ знаки чередуются, что снова указывает на формулу куба разности $(A-B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$. Определим $A$ и $B$. Первый член $0,125a^9$ равен $(0,5a^3)^3$, значит $A = 0,5a^3$. Последний член $0,008b^{12}$ равен $(0,2b^4)^3$, значит $B = 0,2b^4$. Проверим средние члены: Второй член: $3A^2B = 3 \cdot (0,5a^3)^2 \cdot (0,2b^4) = 3 \cdot 0,25a^6 \cdot 0,2b^4 = 0,15a^6b^4$. Третий член: $3AB^2 = 3 \cdot (0,5a^3) \cdot (0,2b^4)^2 = 3 \cdot 0,5a^3 \cdot 0,04b^8 = 0,06a^3b^8$. Все члены совпадают, таким образом, многочлен является разложением куба разности $(0,5a^3 - 0,2b^4)$. Ответ: $(0,5a^3 - 0,2b^4)^3$.

4) Многочлен $0,216x^{12} + 0,54x^8y^5 + 0,45x^4y^{10} + 0,125y^{15}$ имеет все положительные члены, что соответствует формуле куба суммы $(A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$. Определим $A$ и $B$. Первый член $0,216x^{12}$ равен $(0,6x^4)^3$, значит $A = 0,6x^4$. Последний член $0,125y^{15}$ равен $(0,5y^5)^3$, значит $B = 0,5y^5$. Проверим средние члены: Второй член: $3A^2B = 3 \cdot (0,6x^4)^2 \cdot (0,5y^5) = 3 \cdot 0,36x^8 \cdot 0,5y^5 = 0,54x^8y^5$. Третий член: $3AB^2 = 3 \cdot (0,6x^4) \cdot (0,5y^5)^2 = 3 \cdot 0,6x^4 \cdot 0,25y^{10} = 0,45x^4y^{10}$. Все члены совпали, следовательно, многочлен является разложением куба суммы $(0,6x^4 + 0,5y^5)$. Ответ: $(0,6x^4 + 0,5y^5)^3$.